从电子双缝干涉到超导干涉(SQUID)


作者 软件所 李辰剑
审核 物理所 丁兆晴
发布 2024-3-25

难度 大学理科水平 ★★★★


在超导量子计算的技术栈中,常常会出现一个名词:SQUID(超导干涉装置)。SQUID 非常重要,在量子计算、高精度磁场探测中都有应用,但原理乍一看又颇为复杂,使读者觉得食之无味、弃之可惜。于是,在这篇文章中,我将试图从电子双缝衍射和 AB 效应出发,以一种比较自然的方式引入 SQUID 的结构。

目录

一 SQUID 简介

二 电子双缝衍射实验

三 Aharanov-Bohm 效应

四 超导量子干涉 (SQUID)

一 SQUID 简介

SQUID 的全称是 Superconducting QUantum Interference Device, 即超导量子干涉装置。SQUID 的结构很简单,在一块复联通的(即一块挖了洞的超导体)上加上两个约瑟夫森结,便得到了最基本的 SQUID。由于电子波函数的相位会受到周遭磁场(准确来说是磁矢势)的影响,因此在当中那个洞被磁场穿过时,旁边超导体内电子对波函数的相位便会发生变化。这种变化在超导体被断开的约瑟夫森结处造成了相位差,通过约瑟夫森结的电流便会相应地发生变化,产生宏观可观测的效应。量子力学告诉我们,通过当中洞孔的磁通仅仅变化一个磁通量子 $\Phi_0=\frac{h}{2e}$ 时,电子波函数的相位就会变化 $2\pi$,也就是转过”一整圈“。磁通量子的数值正比于普朗克常数、是一个非常小的物理量,这使得 SQUID 对中磁场的变化极为敏感。在普通导体中,晶格碰撞太厉害、耗散非常严重,电子波函数的相位会收到强烈的干扰,难以形成稳定干涉;因此,只有在无耗散的超导材料中,电子波函数的干涉才能稳定进行。由于最终是相位差造成了可观测效应,因此这一装置又被称为“干涉装置”。


SQUID 示意图

二 电子双缝衍射实验

电子双缝衍射实验大家也许并不陌生,这可能是量子力学的科普中被出现频率最高的一个实验了。再电子双缝干涉中,单个电子的波函数同时经过双缝,在自由空间中传播、最终到达到观察平面,形成命案相间的干涉条纹。为了简化问题,不妨假设在自由空间中传播的电子是平面波(略去归一化常数),即可以写成如下的形式:


电子双缝干涉实验示意图

那么沿两条不同路径来到观察平面上的某一点 $x$ 时,两臂的波函数就会产生相位差:

其中 $\Delta l$ 表示路径 $C_1$ 和 $C_2$ 的长度之差。由于相位会随着空间位置的变化而变化,因此观察平面上不同位置的波函数便会干涉相长或者相消,形成类似正弦函数的震荡变化趋势。(见左图的观察平面)

注意,电子双缝衍射和光的双缝衍射实验非常相似,只是把电磁学中双缝衍射实验的对象从光换成了电子。但关键之处在于,我们将电子看成了(i)有相位且(ii)有空间弥散的波函数,这是经典电磁学所没有考虑过的。在经典电磁学中,电子只是一个没有体积、完全聚集的点粒子,相位就更无从谈起了。

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用线性规划解决《戴森球计划》中的生产规划问题

李辰剑 2023-6-16 定稿

一、问题引入

《戴森球计划》相信大家都很熟悉啦,它是一款科幻主题的模拟经营游戏。在《戴森球计划》中,玩家需要在宇宙中采集材料、解锁科技、进行工业生产,最终建造出一个包裹恒星的戴森球,通过戴森球大量收割恒星的太阳能。然而,《戴森球计划》中科技产品的生产和建造极其复杂(配方很复杂,供应链更复杂);而建造整个戴森球(包裹整个恒星,物资消耗能不大吗)又需要大量物资,对生产的规模和效率提出了很高的要求。因此,玩家常常需要花费大量时间来设计、建造、调整各种科技产品的生产线,非常痛苦。这也是《戴森球计划》被许多玩家诟病“费肝”的原因。

于是我就想,能否用计算机科学中一些成熟的优化算法来帮忙设计生产线呢?我初步筛选出了三个可以用计算机算法优化的任务:

(1) 用线性规划求解最优的资源、产品分配。《戴森球计划》中的产业链很长,一些产品的生产配方较为复杂,需要经过多道生产步骤。例如,以下是低阶科技产品电动马达的生产线路图:


如何合理分配资源(例如,以合适的比例将铁矿分配到铁块和磁铁的生产中)以最大化目标产出(例如,最大化马达的生产速率)是一个麻烦的问题。但这一步骤恰好可以用线性规划(Linear Programming)模型求解。

(2) 用集成芯片设计算法优化工厂和物流的布局布线。 《戴森球计划》中的工厂输入输出和布局可以非常复杂… 其实这和集成芯片物理设计中的元件布局和布线有许多相似之处。

(3) 用非线性模型优化工厂位置和物流。这个我懂,区位条件嘛!哪颗星球铁矿多、就着重生产钢铁、马达;哪颗星球石油多,就着重搞能源工业和石油化工。如果有市场经济,每个工厂的厂长就会自己搬去离原料最近的工厂,从而最小化物流开销。——可惜《戴森球计划》中的所有生产都由玩家一人负责,因此需要玩家自己优化所有工厂的位置,相当繁琐。如果能写出一个目标函数,以工厂选址为输入变量变量、以物流成本为函数值、再对该函数进行最优化,就可以得到最优的工厂选址,从而将玩家从繁琐的工厂规划中解放出来。

虽然三个想法都很诱人,但是布局布线和非线性优化都过于复杂…… 于是我决定先尝试基于线性规划的想法(1)。也许以后可以试试另两个想法 :-)


《戴森球计划》游戏内截图。上:《戴森球计划》中的生产线;下:正在建造中的戴森球。

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Linux-0.11 源码解析与思考题

拟题 杨力祥老师
初稿 李效宇同学
整理&终稿 李辰剑 2022-12-31

写在前面

写作背景

这篇笔记来源于这学期的操作系统课程。课程上,杨老师带同学们一起手撕早期版本的 Linux 源代码,非常刺激。

杨老师在期末前出了很多思考题,供同学们参考、复习。李效宇同学则花了不少功夫,结合上课内容和网上资料,整理了所有思考题的答案,分享给同学。

李效宇同学的原文链接:https://lixiexie.notion.site/dbfc366cee8f4931bfa33d414b1132f9

我看到了这篇长文之后觉得内容很棒,便决定转载到自己的博客上。于是我对内容进行了全面的修订,最终得到了这篇文章。

修订内容

本以为只是修改一些错别字和优化排版,没有想到最后却成为了大工程,花费了我小半个学期。对文本的修订和优化包括:

  • 修订了一些错别字、并对文字进行了润色,让文字更书面化。
  • 对代码使用了程序环境进行排版,优化了总体排版。
  • 修改了一些错误答案,例如“25. 为什么 static inline _syscall0(type,name) 中需要加上关键字 inline?”——实际原因不是优化性能,而是与写时复制 (CoW, Copy on Write) 机制有关。
  • 重写/扩充了一些问题的答案。
  • 对思考题顺序进行了调整,让问题之间的逻辑更紧密连贯。想按寻找某道特定思考题答案的同学,可以参考文末附录:「思考题调整前后编号对照表」。
  • 将许多图片替换为了高清版本,增加了一些示意图。
  • 添加了参考文献。

阅读指南

文中有许多内容是对 Linux-0.11 源代码的解析,还有一部分是对 Intel IA-32 体系结构的分析。对于没有阅读过 Linux 源代码的读者来说可能有些难懂。我建议读者的阅读方法有如下几种:

  1. 对计算机感兴趣但不熟悉 Linux 源码也不愿意花费太多时间的读者,可以不求甚解地阅读。文中有一些 IA-32 体系结构相关的内容,也许能拓宽你的知识面,帮助你理解计算机体系结构。文中有一些关于 Linux 操作系统设计思路的内容,也许能向你展现操作系统的具体实现,帮你把抽象的操作系统概念落到具体的实现上。
  2. 了解 Linux 源码,或者准备认真研读的读者,可以配合文末给出的参考资料(即参考文献)阅读。赵炯博士的《Linux内核完全注释》是一本功力极为深厚的 Linux 源码解析专著,我强力推荐。杨力祥老师的《Linux内核设计的艺术》则与文中的思考题思路最为契合。最后,解析 Linux 源码最少不了的便是 Linux 源码本身和 Intel IA-32 芯片手册——后者是当时乃至当今绝大多数操作系统的体系结构基础。源码和《完全注释》可以在 www.oldlinux.org 获得,其余资料也大都可以从网上获得。如果你想偷懒,也可以向我发邮件要资料。我的邮箱是 icy_chlorine@pku.edu.cn。
  3. 对于正在上/上过杨老师操作系统课的同学,你阅读整篇文章应该没有太大的障碍。根据杨老师上课的思路或者《Linux内核设计的艺术》书中的思路走即可。

记号约定:

  • 寄存器用带百分号的代码环境表示,如 %eip, %eax

  • 函数、变量、标识符、内存地址用程序环境排版,如 main(), dir, 0x7c00

  • 体系结构中的专有概念(如全局描述符表 GDT、基本输入输出系统 BIOS)用一般环境排版。
  • Linus 时代多使用 8 空格长的 tab 缩进,而如今的编辑器大都默认使用 4 个空格缩进,并将 tab 页渲染为四个空格长的空白。为了让代码和注释能正常对齐,将代码中的缩进全部替换为了与当时等长的空格。
  • 引用代码中,用 C++ style 注释(//...)表示我们添加的注解,以和 Linux 源代码中的 C style 注释(/*...*/)区分。

Part I 启动与 Intel IA-32 体系结构

1. 为什么开始启动计算机的时候,执行的是 BIOS 代码而不是操作系统自身的代码?

计算机只能从内存中运行程序,而无法直接从软盘或者硬盘中运行程序。不幸的是,计算机刚启动的时候,内存中空空如也、没有任何程序,需要将程序本身先加载进内存当中。这部分操作就由 BIOS(Basic Input/Output System) 完成。加电后, BIOS 完成一些硬件检测工作,设置实模式下的中断向量表和服务程序,并将操作系统的引导扇区加载至内存地址 0x7C00 处,然后将跳转至 0x7C00 运行操作系统的代码。

“实模式”是对 Intel x86 体系结构而言的

BIOS 程序存放在只读存储器 ROM(Read Only Memory) 中。ROM 断电后也能保持信息,但不能改变数据(或修改数据很困难),适合存放 BIOS 这种不需要修改的例行工作。通过内存映射,可以让处理器在上电后最先执行 ROM 中的程序,所以计算机启动最开始运行的是 BIOS 代码。BIOS 在计算机上电启动和操作系统代码之间增加了一层 indirection,使得同样的硬件上可以运行不同的操作系统。

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Notes: A Link Layer Protocol for Quantum Networks

论文作者:Axel Dahlberg, Matthew Skrzypczyk, Tim Coopmans 等 12 人
Notes by 李辰剑 2022-12-14


Contents

  • 作者背景
  • 论文背景
  • 核心内容
  • 实证评估
  • 对工作的评价

作者背景

这是一篇 2019 年发表在计算机网络顶级期刊 SIGCOMM 上的论文,方向为量子网络。近年来,量子计算和量子通信一直是研究的热点方向,而量子网络正是量子通信中的一个概念。

虽然量子网络离大规模实现还很远,但是远在荷兰的 Delft 大学的 QuTech 研究组却选择将其作为主攻方向,几乎将全部的资源押注在量子网络上,近年来也确实取得了许多前沿成果,本篇论文就是其中之一。

我观察了这篇论文的一作二作,发现他们在近五年才有了引用量,且近几年引用量快速上升。可以推测,他们是 QuTech 研究组(Delft 大学研究量子计算和量子信息的课提组)的博士生,是学术界的下一代。这篇论文目前已经获得120的引用量(数据来自 Google Scholar),得到了学界的广泛关注。这篇文章,再加上几位博士生快速上升的引用量,说明他们可能是正在升起的学术新星。

QuTech研究组官方网站链接:https://qutech.nl/

论文背景

近年来,量子计算和量子信息一直是研究的热点方向之一。量子通信是量子信息的主要部分,其目标是利用量子力学的特性(例如量子纠缠)做到超越经典通信的能力。例如,由于无法被完整克隆,量子态无法像经典信息一样被复制并发送,但利用一对提前共享的纠缠对,便可以将一个量子态从一处传送到另一处。又如,利用一对提前共享的纠缠对,只发送一个经典 bit 便可在通信双方之间传送 2 bit 信息——这又被称为“超密编码” (superdense coding)。

由此可见,纠缠对在量子通信中起着重要的作用,大多数的量子通信方案都直接依赖于它。然而,在现实世界中真正产生纠缠对并非一件容易的事,想让远距离的通信双方长时间持有纠缠对更是难上加难。困难主要包括如下几项:

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高斯积分


李辰剑
初稿 2021-3-16
修改&完成 2022-6-23


Contents

  • 引入
  • 求解最简单的两项
  • 利用递推求解所有高斯积分
  • 一点点的进一步讨论
  • 附录:$n\le9$时的高斯积分

引入

高斯积分是形如

的定积分(严格来说是广义积分)。它的核心是$e^{-\lam x^2}$在$[0,+\infty)$上的积分,再辅以幂函数$x^n$作为佐料。这个式子看上去有些复杂,却在各种工程计算、数学推导中有着广泛的应用。例如,在麦克斯韦气体速率分布律

中,为了计算出前面的归一化系数$c$,就需要对后面的部分进行积分,相当于计算$n=2$时的高斯积分。

在温度$T$下,达到热平衡的理想气体中气体分子的「速率」会满足一定的「统计规律」。
麦克斯韦气体速率分布是指:气体分子的速率为$v$的概率即为上述的$p(v)$.

又如,在大家耳熟能详的高斯分布

中,为了计算出前面的归一化系数$1/\sqrt{2\pi}\sigma$,也需要对后面的部分进行积分,然后调整前面的系数使得概率密度函数在全空间的积分为1.这相当于计算$n=0$时的高斯积分:

怎么感觉都是在计算归一化系数啊喂0.0

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Notes: Probabilistic Cloning and Identification of Linearly Inpendent Quantum States


论文作者:段路明老师,郭光灿院士
Notes by 李辰剑 2021-8-18


Overview

一般的幺正操作不能克隆未知的量子态,除非量子态只能从一组正交的态中挑选

但这不代表加上测量之后不行!

作为代价的是:

1.不能可靠地克隆,而受限于成功概率$\gamma_i$; 论文作者还给出了$\gamma_i$的理论上界

2.仍然要求量子态从一个已知的态的集合$\{|\Psi_1\rangle,|\Psi_2\rangle,\cdots,|\Psi_n\rangle\}$中选取,并且要求这些态线性无关;不过这已经从 $\{相互正交的态\}$扩展到了$\{线性无关的态\}$

Contents

  • No-cloning Theorem
  • 克隆一份量子态:将测量作为投影算子使用
  • 成功克隆的概率$\gamma_i$的上界
  • 克隆多份量子态
  • 从量子态克隆到量子态分辨
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S=1/p+1/p^2+...的各种求法

S=1/p+1/p^2+…的各种求法

StarSky 2021-9-1


这是我的一个B站视频的补充材料,不过您愿意的话,直接读文章也可以。

B站视频传送门:1/3+1/9+…=1/2 ??【manim练习作|一定要看到6分10以后】


初中时,有一天早上我坐在马桶上考虑起了这样一个问题:

在脑海中一通想象猜出答案$1/2$之后,我也不知道怎么证明,便没了主意。

进一步地,由于:

我猜想,会不会有

呢?

后来我去找初中数学老师,可她告诉我:

“很多年没有处理极限了,我也不记得怎么做了。”

于是只好作罢。不过她当时在草稿纸上龙飞凤舞的极限符号,倒是对我产生了很深的影响——我如今还在用她的花体写极限符号。

近日为了这个问题做视频,结果除了了高中数列的标准做法,还发现了好多不同的解法。由于并不是每个解法都适合做成动画,因此多余的解法我就写到这篇博文里了。在视频中出境的是前两个解法。

I.标准解法

高中数列中的标准解法。

结论(等比数列的求和公式) 对于等比数列$a_n=a_1q^{n-1}(n\in\mathbb N)$,前$n$项和为

证明$ q=1$的情况是显然的。下面考虑$q\neq1$的情况:

于是我们需要对后面括号中的因子$(1+q+\cdots+q^{n-1})$求和。

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原子核有结构吗?

〇.引言

从初中开始,我们就被告知原子具有这样的结构:而带负电的电子则在核外进行着稀奇古怪的运动,而带正电的质子和不带电的中子则聚成一团,乖巧地待在中央。

到了高中,我们进一步理解了电子的壳层模型,惊讶于如此简洁的电子模型竟可以构建起复杂键价理论,惊讶于电子的简单变化竟可以创造出如此丰富多彩的化学世界。与之相比,原子核便显得有些无趣了。中子和质子缩成一团,均匀而缺乏层次(至少在许多科普插图中是如此)。电子是活泼的,在各种化学反应中总是从一个原子身边跳到另一个原子身边,而通过对这种过程的研究,我们也得以加深对电子的理解。与之相比,原子核便显得高冷许多,只有在核反应中才会发生变化。而核反应,例如裂变、天然衰变,往往条件苛刻,很少发生。这也让我们对原子核知之甚少,如同面对一位深居简出的大人物。

如果你对原子核的”一团浆糊“模型感到不满意,一个自然的问题便是,原子核是否有结构?如果有,是什么样的?这种结构是如何导致神秘的核反应发生的呢?进一步地,原子核是否也像核外电子一样,有可能有丰富多彩的能级呢?如果有,那为什么我们平常没有观测到呢?这便是下面将要回答的问题。

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从二极管到放大器-手把手教你理解放大电路

李辰剑/IcyChlorine 2021-3-22


引言

大二上时上了《现代电子线路及实验(上)》, 从一开始就被三极管打懵了, 自己的“电路观”被崩塌了. 但不幸的是, 打破之后, 新的电路观却并没有建立起来(至少没有建立完整), 只得懵懵懂懂地被拖着学完了放大电路.

如今时隔一年半, 我在大三下又选上了电线实验, 倒也又给我一个机会接触并了解电子电路. 于是我便打算借着这个机会, 把之前没搞清楚的一些模拟电路概念、以及难点重新梳理一下, 一来完善自己的知识结构, 二来也是为后来者铺路. 对于只学过中学电路的同学而言, 从“学前电路”(大学前电路)到大学的电子电路, 当中有着巨大的鸿沟, 学习曲线相当陡峭——因为有些概念和电路观念的转变老师不说, 教材也不写, 初来乍到很难理解.

注意: 这篇文章与物理学院选修《现代电子线路及实验(上)》的同学是最契合的; 如果你是EE专业的, 这篇文章可能对于你来说太trivial、或者太简单了, 还请选择性阅读. XD

1 晶体管

这一部分主要是二极管和三极管;二者的基础知识我就不赘述了, 各个教材上汗牛充栋, 网上也有许多资料. 这里贴两个知乎的教程:

知乎:仅此一文, 看懂二极管的所有基础知识点

知乎:三极管的原理书上都讲不清楚, 为什么能被制造出来?

二极管的文章较为平庸, 是非常平常的讲解方式;三极管的文章却是非常优秀的, 提到了许多教科书都不会讲的观点.

为了进行接下来我们的讨论, 我先放几张图:


PN结

这是前述知乎教程中的二极管示意图. 看似简单, 仔细想想却有着许多问题:

  • 当中的耗尽区, 电子和空穴相互抵消=>载流子耗尽形成短路. 但是同样在好进去, 有没有可能新的电子从离子实周围被电离出来, 形成电子和空穴分别向N区和P区移动, 形成电流?
  • 在P型半导体和N型半导体间形成了单向导通的PN结;但是我们知道, 二极管两侧相连的是金属导线(至少, 有可能是), 而金属导线的主要载流子是电子, 是一种”N型导体“. 那在金属导线与P区接触的地方, 会不会形成PN结呢?或者说, 为什么没有形成PN结呢?
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Fourier方法专栏(二)-从傅里叶级数到傅里叶变换

李辰剑 2020-12-14

写在前面

自从大一学了傅里叶级数(并且没学好),大二的数理方法又错过了讲傅里叶变换的那节课(数理方法),就一直对傅里叶变换感觉懵懵懂懂,没学进去;虽然道理能搞懂、公式能照搬,但用起来总是感觉心里没底,缺乏信心;再加之傅里叶变换的具体方法和公式种类繁多,更让我摸不着头脑。由于计算物理要讲FFT, 便打算趁这个机会查缺补漏,把傅里叶变换没有搞懂的地方彻底搞懂(指我自己的问题),整理成笔记。

这系列笔记的内容应该包括:

  • 从傅里叶级数到傅里叶变换的”推导“(是如何过渡过去的?)

    • 这里便会牵涉到各种不同的傅里叶公式
    • ——这也是这篇笔记的内容.因此,这个系列的第一篇其实是”(二)”出于逻辑完整性,最开始的内容应该是傅里叶方法和傅里叶级数的引入,以及级数敛散性的讨论,因此这篇过渡到傅里叶变换的笔记就是(二)了; 什么?你问我(一)和后面的内容会不会填坑?我估计大概率不会(坏笑
  • 关于傅里叶级数敛散性的一些讨论 ->(一)(刘旭峰留下的坑,看了伍胜健的《数学分析II》中的相关内容才明白)
  • 卷积的推导 -> (三)
  • DFT 和 FFT -> (四)

从三角傅里叶级数到复傅里叶级数

在高数课本中,给出的傅里叶级数公式为:

简单起见,我们假设函数$f(x)$没有瑕点,级数总能收敛

其中系数由积分给出:

这种做法的合理性来自于三角函数系的正交性:

其中,内积$\langle\cdot|\cdot\rangle$是由$[-\pi, \pi]$上的定积分定义的;对正弦函数而言,参数$n$不能为$0$, 而对余弦函数而言,$n$可以为零,但此时的正交关系为$\langle\cos nx|\cos nx\rangle=\langle 1|1\rangle=2\pi$而非$\pi$.

这个结果看上去非常美丽,但仍有一些问题

  • 为什么$n=0$的项要搞特殊?强迫症很痛苦啊!
    • 进一步来说,从数学上,为什么$n=0$的项很特殊呢?(显然我并不满足那个简单的定积分公式)
    • 整个三角函数系看上去还是有点冗余/复杂. 如果能化成单参数的函数族就好了.
  • 这个形式要求$f(x)$必须是以$2\pi$为周期的函数,对一般函数不太好处理.
  • 这个形式很不容易推广/过渡到傅里叶变换上.

所幸我这两天找到了一个巧妙的方法, 可以解决这些问题.

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