用线性规划解决《戴森球计划》中的生产规划问题

李辰剑 2023-6-16 定稿

一、问题引入

《戴森球计划》相信大家都很熟悉啦，它是一款科幻主题的模拟经营游戏。在《戴森球计划》中，玩家需要在宇宙中采集材料、解锁科技、进行工业生产，最终建造出一个包裹恒星的戴森球，通过戴森球大量收割恒星的太阳能。然而，《戴森球计划》中科技产品的生产和建造极其复杂（配方很复杂，供应链更复杂）；而建造整个戴森球（包裹整个恒星，物资消耗能不大吗）又需要大量物资，对生产的规模和效率提出了很高的要求。因此，玩家常常需要花费大量时间来设计、建造、调整各种科技产品的生产线，非常痛苦。这也是《戴森球计划》被许多玩家诟病“费肝”的原因。

于是我就想，能否用计算机科学中一些成熟的优化算法来帮忙设计生产线呢？我初步筛选出了三个可以用计算机算法优化的任务：

(1) 用线性规划求解最优的资源、产品分配。《戴森球计划》中的产业链很长，一些产品的生产配方较为复杂，需要经过多道生产步骤。例如，以下是低阶科技产品电动马达的生产线路图：

如何合理分配资源（例如，以合适的比例将铁矿分配到铁块和磁铁的生产中）以最大化目标产出（例如，最大化马达的生产速率）是一个麻烦的问题。但这一步骤恰好可以用线性规划（Linear Programming）模型求解。

(2) 用集成芯片设计算法优化工厂和物流的布局布线。 《戴森球计划》中的工厂输入输出和布局可以非常复杂… 其实这和集成芯片物理设计中的元件布局和布线有许多相似之处。

(3) 用非线性模型优化工厂位置和物流。这个我懂，区位条件嘛！哪颗星球铁矿多、就着重生产钢铁、马达；哪颗星球石油多，就着重搞能源工业和石油化工。如果有市场经济，每个工厂的厂长就会自己搬去离原料最近的工厂，从而最小化物流开销。——可惜《戴森球计划》中的所有生产都由玩家一人负责，因此需要玩家自己优化所有工厂的位置，相当繁琐。如果能写出一个目标函数，以工厂选址为输入变量变量、以物流成本为函数值、再对该函数进行最优化，就可以得到最优的工厂选址，从而将玩家从繁琐的工厂规划中解放出来。

虽然三个想法都很诱人，但是布局布线和非线性优化都过于复杂…… 于是我决定先尝试基于线性规划的想法(1)。也许以后可以试试另两个想法 :-)

《戴森球计划》游戏内截图。上：《戴森球计划》中的生产线；下：正在建造中的戴森球。

二、问题建模

1. 《戴森球计划》中的产品分配问题

《戴森球计划》中的产业链很长，一些产品的生产需要经过多道生产步骤。例如，以下是低阶科技产品电动马达的生产线路图：

在生产马达时，给定铁矿和铜矿生产速度，玩家会面临这样一个问题：如何确定铁块和磁铁的生产比例？如果铁块生产过多、磁线圈就会生产不足，导致铁块积压；相反，如果铁块生产过少、磁铁生产过多，就会导致磁线圈积压。因此，只有合理地分配原料和中间产品，才能达到目标产品的最大产量。合理分配单一资源并非难事。但在《戴森球计划》的实际生产中，往往需要同时平衡十几种原料和产品的供应链，完美平衡所有产物并非易事。

在实际搭建高阶科技产品生产线的时候，常常由于原料生产力不匹配遇到顾此失彼的情况。由于生产线不均衡、无法完美匹配原料生产，从而导致某种材料堆积或缺乏，这会使某一步生产成为瓶颈，无法充分利用星球上的资源禀赋快速生产高级产品。但由于生产链很复杂，手工优化调整很繁琐。

《戴森球计划》中高阶科技产品「能量矩阵」和「结构矩阵」的生产过程。从原材料到成品，构成了一个复杂的有向无环图 (DAG) 结构。图片来自 https://steamah.com/dyson-sphere-program-matrix-production-guide/。

考虑到《戴森球计划》中的生产配方都是「线性的」，即，一份原料一份收获，我们可以将原料分配问题建模为线性规划问题。一旦将问题建模为线性规划问题，就可以调用成熟的线性规划求解器自动求解，从而将玩家从繁琐的手动优化中解放出来。

2. 假设与变量

《戴森球计划》中的自动化生产是一个非常复杂的问题。除了原料之外，还要考虑物流、工厂占地、生产速率等等问题。为了将问题规约为简单的线性规划模型，我们做一些简化：

1. 假设星球上的资源总量无限，但每分钟采集的资源数量（即资源采集速率）受到矿脉数量限制。
2. 假设星球上总是有足够的地方修建工厂。
3. 假设有充足的能源供应（依靠正在建造的戴森球）和便捷的物流系统（不用考虑物流运输问题）。

在这些假设下，能源、工厂占地、物流都不成为问题，资源采集速率是对生产的唯一约束。

因此，这一模型求解得到的结果不提供工厂和物流的布局方案，只提供原料和各个工业品的分配方案QAQ

接下来，我们将『每种工业品的每分钟生产量』（即生产速率）建模为线性规划中的变量。例如，铁矿，铁块，齿轮的每分钟生产数量分别对应线性规划中的 $\sharp铁矿$,$\sharp铁块$,$\sharp 齿轮$ 变量。其中，「$\sharp$」表示「数量」之意。

以钢铁生产线为例。在《戴森球计划》中，一单位铁矿可以冶炼出一单位铁块，一单位铁块又可以生产一单位齿轮。假设每分钟最多采集 2500 单位铁矿，就可以得到如下约束：

$$\sharp 铁矿,\sharp 铁块,\sharp 齿轮\ge0\\ \sharp 铁矿\le2500\\ \sharp 铁块\le\sharp 铁矿\\ \sharp 齿轮\le\sharp 铁块\notag$$

3. 将原料生产模型转化为线性规划问题

假设 $原料_i$ 供应了产品 $产品_1,产品_2,…,产品_{m_i}$的生产，其中生产每份 $产品_j$ 需要 $a_{ji}$ 份 $原料_i$。那线性规划模型中的约束可以写为：

$$\sum_{j=1}^{m_i}a_{ji}\cdot\sharp 产品_j\le\sharp原料_i\tag*{[Constraint $i$]}$$

若一种产品的生产配方同时需要多种原料，则需要同时出现在多个原料的约束式里。例如，如果考虑电动马达生产线、忽略其它产品，可以得到以下的模型：

$$\begin{align*} \max_{\sharp \mathrm{prod.}\ge0}\ & \sharp 电动马达\\ \color{teal}{\sharp 铁矿}\ &\le2500\\ \color{brown}{\sharp 铜矿}\ &\le2000\\ \sharp 磁铁+\color{teal}{\sharp 铁块}\ &\le \color{teal}{\sharp 铁矿}\\ \color{brown}{\sharp 铜块}\ &\le \color{brown}{\sharp 铜矿}\\[2mm] 2\cdot\sharp 电动马达+\sharp齿轮\ &\le \color{teal}{\sharp铁块}\\ 0.5\cdot\sharp 磁线圈\ &\le \color{brown}{\sharp铜块}\\ \sharp 电动马达&\le \sharp齿轮\\ \sharp 电动马达&\le \sharp磁线圈 \end{align*}\notag$$

在《戴森球计划》中，大多数物品都由单一配方生产，但少部分物品有多种生产渠道，我们需要为此调整生成的公式。例如，游戏中的石墨烯既可以由可燃冰得到，也可以由化工工艺生产。于是，需要将产品分为两部分写入模型，再用一个式子加起来。例如，对石墨烯可以得到下式（下式中省略了系数和一些原料）：

$$...\\ \begin{align*} \sharp 石墨烯^{(可燃冰)}&\le \sharp可燃冰\\ \sharp 石墨烯^{(化工)}&\le \sharp 化工原料\\ \sharp 石墨烯&=\sharp 石墨烯^{(可燃冰)}+\sharp 石墨烯^{(化工)}\\ ...(需要石墨烯的产品)...&\le\sharp 石墨烯\\ \end{align*}\\ ...$$

三、求解器选择，以及代码实现

线性规划是一个非常成熟的数学模型，市面上有许多求解器可供选择。例如，大名鼎鼎的 MATLAB 便提供了线性规划求解函数。然而，最终我选择了 MiniZinc。MiniZinc 是一款通用的求解器，它可以求解的问题范畴比线性规划大得多。更重要的是，MiniZinc 有自己的约束表示语言，可以通过类似高级语言的方式指定复杂的约束。相比之下，MATLAB 只支持求解矩阵输入形式的线性规划。将复杂的生产配方转换为矩阵形式是一件非常麻烦的事，因此我最终选择了 MiniZinc。

MiniZinc 的核心是一个命令行工具，负责求解由 .mzn 后缀文件指定的约束问题。不过除了命令行交互， MiniZinc 官方还提供了具有图形界面的 IDE 来编辑和运行代码，这也是我采用的交互方式。

# 在命令行使用 MiniZinc 求解器
$ minizinc --solver gecode problem.mzn

MiniZinc IDE 截图

Remark

1. 严格来说 MiniZinc 是一款约束描述语言，真正求解时可以选择不同的求解器。
2. 求解过程中出现了奇怪的现象：若将模型设置为整数线性规划问题，大多数求解器都可以求解；但如果将数据类型设为实数、将模型设置为实数线性规划模型，一些求解器反而无法求解。按理说，实数规划比整数规划更简单才对。

最后，完整的代码如下。其中，矿物资源的生产速度取自我的存档，使用时请修改为自己的存档数据；有一些极少使用的配方没有包含在内。求解结果见第四部分。

% % DSP.mzn % %

% % 变量定义 % %
% 原矿
var int: iron_ore; constraint iron_ore >= 0;
var int: copper_ore; constraint copper_ore >= 0;
var int: coal_ore; constraint coal_ore >= 0;

% 初级产品
var int: iron; constraint iron >= 0;
var int: magnet; constraint magnet >= 0;
var int: copper; constraint copper >= 0;
var int: coal; constraint coal >= 0;

% 次级产品
var int: magnet_coil; constraint magnet_coil >= 0;
var int: gear; constraint gear >= 0;

% 电磁产品生产线
var int: EM_turbine; constraint EM_turbine >= 0;
var int: motor; constraint motor >= 0;

% 电路板
var int: PCB; constraint PCB >=0; 
var int: IC; constraint IC >= 0; % 当前资源禀赋下（硅矿=2250），IC最多每分钟生产250左右
var int: micro_unit; constraint micro_unit >= 0; 

% 硅产线
var int: silicon_ore; constraint silicon_ore >= 0;
var int: silicon; constraint silicon >= 0;
var int: lattice_silicon; constraint lattice_silicon >= 0;

% 光学产线
var int: raw_stone; constraint raw_stone >= 0;
var int: glass; constraint glass >= 0;
var int: prism; constraint prism >= 0;
var int: plasma_generator; constraint plasma_generator >= 0;
var int: photon_merger; constraint photon_merger >= 0;

% 结构产线
var int: titanium_ore; constraint titanium_ore >= 0;
var int: titanium; constraint titanium >= 0;
var int: titan_alloy; constraint titan_alloy >= 0;
var int: titan_glass; constraint titan_glass >= 0;
var int: titan_diamond; constraint titan_diamond >= 0;
var int: diamond; constraint diamond >= 0;
var int: graphene; constraint graphene >= 0;
var int: graphene_tube; constraint graphene_tube >= 0;
var int: steel; constraint steel >= 0;

% 能源
var int: HE_graphite; constraint HE_graphite >= 0;
var int: mined_HE_graphite; constraint mined_HE_graphite >= 0;
var int: splitted_HE_graphite; constraint splitted_HE_graphite >= 0;
HE_graphite = splitted_HE_graphite + mined_HE_graphite;
% HE = High Energy, HE_graphite：高能石墨
var int: crude_oil; constraint crude_oil >= 0;
var int: gasoline; constraint gasoline >= 0;
var int: combustible_ice; constraint combustible_ice >= 0;
var int: hydrogen; constraint hydrogen >= 0;
% 从气态巨行星提取的氢
var int: extracted_hydrogen; constraint extracted_hydrogen >= 0;
% 裂解得到的氢
var int: splitted_hydrogen; constraint splitted_hydrogen >= 0;
% 原油分馏得到的氢
var int: fractioned_hydrogen; constraint fractioned_hydrogen >= 0;
constraint hydrogen = extracted_hydrogen + fractioned_hydrogen + splitted_hydrogen;
var int: deuterium; constraint deuterium >= 0;
var int: deuterium_unit; constraint deuterium_unit >= 0;

% 化工
var int: sulfuric_acid; constraint sulfuric_acid >= 0;
var int: organic_crystal; constraint organic_crystal >= 0;
var int: plastic; constraint plastic >= 0;

% quantum/advanced
var int: super_magnet_coil; constraint super_magnet_coil >= 0; % 当前资源，极限=85/分钟
var int: QIC; constraint QIC >= 0;
var int: particle_broadband; constraint particle_broadband >= 0;
var int: Casmir_crystal; constraint Casmir_crystal >= 0;
var int: subspace_selector; constraint subspace_selector >= 0;
% subspace_selector: 位面过滤器

% DSP component
var int: solar_sail; constraint solar_sail >= 0;
var int: DSP_unit; constraint DSP_unit >= 0;

% rocket
var int: framework_mat; constraint framework_mat >= 0;
var int: rocket; constraint rocket >= 0;

% 科技矩阵
var int: EM_matrix; constraint EM_matrix >= 0;
var int: structure_matrix; constraint structure_matrix >= 0;
var int: energy_matrix; constraint energy_matrix >= 0;
var int: information_matrix; constraint information_matrix >= 0;
var int: gravity_matrix; constraint gravity_matrix >= 0;
var int: universe_matrix; constraint universe_matrix >= 0;
var int: gravity_len; constraint gravity_len >= 0;
var int: particle_container; constraint particle_container >= 0;
var int: strange_matter; constraint strange_matter >= 0;

% % 原料生产速度 % %
% 请根据存档资源分布调整数值 %
constraint iron_ore <= 2500;
constraint copper_ore <= 2000;
constraint coal_ore <= 1300;
constraint raw_stone <= 3000;
constraint silicon_ore <= 2250;
constraint titanium_ore <= 2500;
constraint combustible_ice <= 192.04*45;
constraint extracted_hydrogen <= 87.1*45; %~3920
constraint crude_oil <= 29.28*60; %~1780;

% % 生产公式约束 % %
% 初级产品
constraint iron + magnet <= iron_ore;
constraint copper <= copper_ore;
constraint 2*silicon <= silicon_ore;
constraint 2*titanium <= titanium_ore;
constraint 2*mined_HE_graphite <= coal_ore;
constraint 2*glass + 2*sulfuric_acid <= raw_stone;
constraint 2*splitted_hydrogen <= crude_oil;
constraint gasoline = 2*splitted_hydrogen;
constraint 2*extracted_hydrogen <= combustible_ice;
constraint graphene = 2*extracted_hydrogen;
% 第一行（生产面板中的第一行产品，下同）
constraint gear + 3*steel + 2*motor + 2*PCB + 2*strange_matter <= iron;
constraint magnet_coil + micro_unit + PCB <= copper;
constraint lattice_silicon + 2*micro_unit + framework_mat <= silicon;
constraint 2*titan_alloy + 2*titan_glass + 6*titan_diamond + graphene_tube <= 2*titanium;
constraint plastic + diamond + super_magnet_coil + 2*energy_matrix <= HE_graphite;
constraint 2*splitted_HE_graphite + 4*plastic + 2*organic_crystal + 3*sulfuric_acid <= 2*gasoline;
constraint 3*graphene_tube + 4*Casmir_crystal + solar_sail <= 2*graphene;
constraint 2*organic_crystal + particle_broadband <= plastic;
% 第二行
constraint 2*magnet_coil + super_magnet_coil <= magnet;
constraint motor + 2*EM_turbine + EM_matrix + 4*plasma_generator <= magnet_coil;
constraint 2*particle_broadband <= lattice_silicon;
constraint deuterium_unit + 2*framework_mat <= 2*titan_alloy;
constraint 2*titan_glass + 3*prism <= 2*glass;
constraint 4*gravity_len + structure_matrix <= diamond;
constraint splitted_hydrogen = 3*splitted_HE_graphite; % 裂解公式
constraint organic_crystal <= organic_crystal;
constraint 2*splitted_HE_graphite + 2*deuterium + 12*Casmir_crystal + 2*energy_matrix <= hydrogen;
constraint 20*deuterium_unit + 10*strange_matter <= deuterium;
constraint 4*rocket <= deuterium_unit;
% 第三行
constraint titan_alloy <= steel;
constraint 2*EM_turbine <= motor;
constraint 2*subspace_selector <= titan_glass;
constraint 2*plasma_generator + 2*photon_merger <= prism;
constraint Casmir_crystal + structure_matrix <= titan_diamond;
constraint gravity_len <= strange_matter;
% 第四行
constraint motor <= gear;
constraint 2*super_magnet_coil <= EM_turbine;
constraint 2*IC + EM_matrix + photon_merger <= PCB;
constraint gravity_matrix <= gravity_len;
constraint 2*titan_alloy <= sulfuric_acid;
constraint 2*particle_broadband + 4*framework_mat <= graphene_tube;
% 第五行
constraint 0 <= plasma_generator;
constraint deuterium_unit <= 2*super_magnet_coil;
constraint information_matrix <= particle_broadband;
constraint 3*DSP_unit + 2*QIC + 2*information_matrix <= IC;
constraint subspace_selector <= Casmir_crystal;
constraint 2*strange_matter <= particle_container;
constraint 2*QIC <= subspace_selector;
constraint 3*DSP_unit <= solar_sail;
constraint 3*DSP_unit <= framework_mat;
constraint 2*rocket <= DSP_unit;
% 第六行
constraint solar_sail <= 2*photon_merger;
constraint 2*IC <= micro_unit;
constraint 2*rocket + gravity_matrix <= QIC;
% 第七行
constraint universe_matrix <= EM_matrix; % 电磁矩阵瓶颈：铁矿 #=625
constraint universe_matrix <= energy_matrix; % 瓶颈：煤矿 #=379
constraint universe_matrix <= structure_matrix; % 瓶颈：钛矿 #=416
constraint universe_matrix <= information_matrix; % 瓶颈：硅矿 #=112
constraint universe_matrix <= gravity_matrix; % 瓶颈：氢和钛矿 #=125
%宇宙矩阵还缺一个反物质约束
% universe_matrix #=62

% % 目标 % %
%constraint EM_turbine >= 100;
%constraint IC >= 100;

%solve maximize EM_matrix;
%solve maximize energy_matrix;
%solve maximize structure_matrix;
%solve maximize information_matrix;
%solve maximize gravity_matrix;
%solve maximize universe_matrix;
solve maximize rocket;

四、求解结果与分析

在这一节中，我将以一些终端科技产品为目标，运行优化器，得到有限资源条件下的最优解。有了线性规划求解器的帮助，我们就可以从纷繁复杂的生产线中找到关键的限速路径，并进一步分析其生产瓶颈。

在《戴森球计划》计划中，除去建筑，生产复杂、需求量大的终端科技产品有七种：

• 电磁矩阵（蓝色矩阵）：需要磁线圈和电磁涡轮生产，象征着电磁学科技。可以看作电磁科技和电磁产品生产力的抽象。
• 能量矩阵（红色矩阵）：需要高能石墨和氢元素生产，象征着能源工业。可以看作能源的抽象。
• 结构矩阵（黄色矩阵）：需要金刚石和钛晶石生产，象征着高强度材料科技。可以看作高阶材料科技和高强度材料产能的抽象。
• 信息矩阵（紫色矩阵）：需要集成芯片（游戏中的“处理器”）和粒子宽带生产，象征着成熟的信息科技。可以看作信息科技和信息产品产能的抽象。
• 引力矩阵（绿色矩阵）：需要量子芯片和引力透镜进行生产，象征着量子力学和广义相对论的统一（这两个理论之间有矛盾，现实世界中还没做到相互统一），代表了最高阶的科技和最先进的科技产品。
• 宇宙矩阵（白色矩阵）：一份宇宙矩阵由一份电磁矩阵、一份能量矩阵、一份结构矩阵、一份信息矩阵、一份引力矩阵生产，是消耗资源最多、最综合的产品。象征着最前沿且全面的科技水平。
• 小型运载火箭：需要戴森球组件、量子芯片和氘核燃料棒生产。小型运载火箭负责将戴森球组件运送到恒星附近并组装，是戴森球的前体。在建造戴森球的过程中，大规模、稳定地量产运载火箭是必不可少的。然而，小型运载火箭的产业链非常长，生产难度高，需求量也非常大，因此设计火箭生产线绝非易事。

接下来，我们分别以前述的七种产品产量为目标，进行最优化，然后对结果进行分析。

六种矩阵的生产步骤和每一步的配方。
图片来自https://imgur.com/。

1. 电磁矩阵

在 DSP.mzn 中将最优化目标设为 solve maximize EM_matrix;（即最大化电磁矩阵产量），然后调用求解器，得到以下结果：

为便于观察理解，求解器结果经过了筛选和重排，下同

iron_ore = 2500; % 达到矿物生产速度上限（上限=2500）
copper_ore = 1250; % 未达到矿物生产速度上限（上限=2000）
iron = 1250;
magnet = 1250;
copper = 1250;
PCB = 625;

EM_matrix = 625;
...(值为0的变量已忽略)...

线性规划的求解结果给出了电磁矩阵的最大生产速率（最后一行），以及产率最大化时对其它产品的需求（前六行）。在不同玩家的不同存档中，资源条件常常存在差异；而在同一存档中，前期和后期的资源开发利用程度也会有所不同。因此，电磁矩阵最大生产速率的绝对值意义不大；相比之下，更加重要的是分析产品的相对生产比例以及整体的生产规律和特点。

可以看到，电磁矩阵的生产强烈依赖于铁矿和铜矿以及随后的铜铁产业。最后一行告诉我们，（在我的存档条件下，下同）电磁矩阵的最大生产速率为每分钟 625 单位。结合矿物资源上限可以发现，限制电磁矩阵生产的资源是铁矿，铜矿并没有被完全利用起来。

2. 能量矩阵

在 DSP.mzn 中将最优化目标设为 solve maximize energy_matrix;，然后调用求解器，得到以下结果：

coal_ore = 1300; % 达到矿物生产速度上限（上限=1780）
mined_HE_graphite = 650;
splitted_HE_graphite = 292;
HE_graphite = 942;
crude_oil = 1752; % 基本达到矿物生产速度上限（上限=1780）
gasoline = 1752;
combustible_ice = 0;
hydrogen = 1526;
extracted_hydrogen = 0; % 未开采巨型气态行星，氢元素生产仍有潜力
splitted_hydrogen = 876;
fractioned_hydrogen = 650;

energy_matrix = 471;
...(一些值为0的变量已忽略)...

可以看到，能量矩阵的生产强烈依赖于原油生产和煤矿采掘，这很符合大众对能源工业的印象 :-) 能量矩阵的最大生产速率为每分钟 471 单位，低于电磁矩阵，说明能量矩阵的生产难度更高；从数据可以看出，限制能量矩阵生产的关键资源是煤矿。

3. 结构矩阵

在 DSP.mzn 中将最优化目标设为 solve maximize structure_matrix;，然后调用求解器，得到以下结果：

coal_ore = 832; % 未达到矿物生产速度上限（上限=1300）
titanium_ore = 2496; % 达到矿物生产速度上限（上限=2500）
titanium = 1248;
titan_alloy = 0;
titan_glass = 0;
titan_diamond = 416;
diamond = 416;
steel = 0;
mined_HE_graphite = 416;
splitted_HE_graphite = 0;
HE_graphite = 416;

structure_matrix = 416;
...(一些值为0的变量已忽略)...

可以看到，结构矩阵的生产主要依赖于钛材料和金刚石。能量矩阵的最大生产速率为每分钟 416 单位，生产难度与能量矩阵基本持平；从数据可以看出，限制结构矩阵生产的关键资源是钛矿——这非常符合大众对钛“高强度材料元素”印象。

4. 信息矩阵

在 DSP.mzn 中将最优化目标设为 solve maximize information_matrix;，然后调用求解器，得到以下结果：

iron_ore = 896; % 未达到矿物生产速度上限（上限=2500）
copper_ore = 896; % 未达到矿物生产速度上限（上限=2200）
coal_ore = 134; % 远未达到矿物生产速度上限（上限=1300）
iron = 896;
copper = 896;
PCB = 448;
IC = 224;
micro_unit = 448;
silicon_ore = 2240; % 达到矿物生产速度上限（上限=2250）
silicon = 1120;
lattice_silicon = 224;
titanium_ore = 224;
titanium = 112;
graphene = 336;
graphene_tube = 224;
mined_HE_graphite = 67;
splitted_HE_graphite = 45;
HE_graphite = 112;
crude_oil = 270; % 远未达到矿物生产速度上限（上限=1780）
gasoline = 270;
combustible_ice = 336; % 远未达到矿物生产速度上限（上限=1300）
hydrogen = 303;
extracted_hydrogen = 168;
splitted_hydrogen = 135;
fractioned_hydrogen = 0;
plastic = 112;
particle_broadband = 112;

information_matrix = 112;
...(一些值为0的变量已忽略)...

可以看到，信息矩阵的生产比前几种矩阵要困难得多，每分钟最多只能生产 112 单位；而且产业链更复杂，涉及到能源、钛和铁。不过，在所有消耗的资源中，硅的消耗量最大，硅元素产量也直接成为了信息矩阵的生产瓶颈——这非常符合大众对硅元素“信息时代关键原料”的印象。

5. 引力矩阵

在 DSP.mzn 中将最优化目标设为 solve maximize gravity_matrix;，然后调用求解器，得到以下结果：

iron_ore = 1250; % 未达到矿物生产速度上限（上限=2500）
copper_ore = 1000; % 未达到矿物生产速度上限（上限=2000）
coal_ore = 1000; % 达到矿物生产速度上限（上限=1300）
iron = 1250;
magnet = 0;
copper = 1000;
coal = 0;
magnet_coil = 0;
gear = 0;
EM_turbine = 0;
motor = 0;
PCB = 500;
IC = 250;
micro_unit = 500;
silicon_ore = 2000; % 未达到矿物生产速度上限（上限=2250）
silicon = 1000;
lattice_silicon = 0;
raw_stone = 1000; % 未达到矿物生产速度上限（上限=3000）
glass = 500;
prism = 0;
plasma_generator = 0;
photon_merger = 0;
titanium_ore = 2500; % 达到矿物生产速度上限（上限=2500）
titanium = 1250;
titan_alloy = 0;
titan_glass = 500;
titan_diamond = 250;
diamond = 500;
graphene = 500;
mined_HE_graphite = 500;
splitted_HE_graphite = 0;
HE_graphite = 500;
combustible_ice = 500;
hydrogen = 5500;
extracted_hydrogen = 250;
splitted_hydrogen = 0;
fractioned_hydrogen = 5250;
deuterium = 1250;
QIC = 125;
Casmir_crystal = 250;
subspace_selector = 250;
gravity_len = 125;
particle_container = 250;
strange_matter = 125;

gravity_matrix = 125; % 引力矩阵最大产量
...(一些值为0的变量已忽略)...

可以看到，引力矩阵也是一种生产难度较高的资源，最大生产速率只有每分钟 125 单位，且需要「奇异物质」。在所有消耗的资源中，钛的消耗量最大，这是因为生产过程中需要大量高强度材料来囚禁高能物质。于是，钛元素产量也成为了引力矩阵的生产瓶颈。

实际上，在现实世界中，往往通过超导材料产生的强磁场来囚禁高能物质，而不是传统的高强度材料（钛合金、纳米材料等等）。

5. 宇宙矩阵

在 DSP.mzn 中将最优化目标设为 solve maximize universe_matrix;，然后调用求解器，得到以下结果：

iron_ore = 1364; % 上限=2500
copper_ore = 1116; % 上限=2000
coal_ore = 942; % 上限=1300
iron = 1240;
magnet = 124;
copper = 1116;
magnet_coil = 62;
PCB = 558;
IC = 248;
micro_unit = 496;
silicon_ore = 2232; % 上限=2250
silicon = 1116;
lattice_silicon = 124;
raw_stone = 496; % 上限=3000
glass = 248;
titanium_ore = 1736; % 上限=2250
titanium = 868;
titan_alloy = 0;
titan_glass = 248;
titan_diamond = 186;
diamond = 310;
graphene = 434;
graphene_tube = 124;
mined_HE_graphite = 471;
splitted_HE_graphite = 25;
HE_graphite = 496;
crude_oil = 150; % 上限=1780
gasoline = 150;
combustible_ice = 434;
hydrogen = 2902;
extracted_hydrogen = 217;
splitted_hydrogen = 75;
fractioned_hydrogen = 2610;
deuterium = 620;
deuterium_unit = 0;
sulfuric_acid = 0;
organic_crystal = 0;
plastic = 62;
QIC = 62;
particle_broadband = 62;
Casmir_crystal = 124;
subspace_selector = 124;
EM_matrix = 62;
structure_matrix = 62;
energy_matrix = 62;
information_matrix = 62;
gravity_matrix = 62;
universe_matrix = 62;
gravity_len = 62;
particle_container = 124;
strange_matter = 62;

宇宙矩阵是最究极的科技产品，需要五种矩阵（电磁、能量、结构、信息、引力）各一份才能生产一单位的宇宙矩阵。可以看到，宇宙矩阵的产业链最长、也需要最多种类的原料。值得注意的是，虽然只要五种矩阵各一份就能生产一单位宇宙矩阵，但宇宙矩阵的最大产量小于任意一个矩阵的最大产量，即：

$$\sharp 宇宙矩阵<\min\{\color{blue}{\sharp 电磁矩阵}, \color{red}{\sharp 能源矩阵},\color{brown}{\sharp 结构矩阵},\color{purple}{\sharp 信息矩阵},\color{green}{\sharp 引力矩阵}\}_{(\rm alone)}\notag$$

其中，“$(\rm alone)$”表示每种矩阵单独生产时对应的最大产量。各种初级矩阵需要的材料相互冲突、相互制约，导致宇宙矩阵的最大产量比各个矩阵产量的最小值还要小，只有每分钟 62 单位。

6. 小型运载火箭

最后，我们来查看小型运载火箭的最优生产速度。小型运载火箭是戴森球组件的运载工具，运载火箭的生产速度直接关系到戴森球的建造速度。在《戴森球计划》游戏中，一个戴森球往往需要上万个节点组成，需要数万~数十万艘运载火箭才能建造完成。小型火箭生产越快，戴森球建造得也越快。

iron_ore = 2432; % 几乎达到矿物生产速度上限（上限=2500）
copper_ore = 1121; % 未达到矿物生产速度上限（上限=2000）
iron = 1786;
magnet = 646;
copper = 1121;
magnet_coil = 304;
gear = 152;
EM_turbine = 76;
motor = 152;
PCB = 437;
IC = 190;
micro_unit = 380;
silicon_ore = 1748; % 达到矿物生产速度上限（上限=2250）
silicon = 874;
raw_stone = 1254; % 达到矿物生产速度上限（上限=3000）
glass = 323;
prism = 114;
photon_merger = 57;
titanium_ore = 1520; % 达到矿物生产速度上限（上限=2500）
titanium = 760;
titan_alloy = 152;
titan_glass = 152;
titan_diamond = 76;
graphene = 894;
graphene_tube = 456;
steel = 152;
splitted_HE_graphite = 92;
HE_graphite = 92;
crude_oil = 552;
gasoline = 552;
combustible_ice = 894;
hydrogen = 4136; % 大量消耗氢能，但仍未达到上限
extracted_hydrogen = 447;
splitted_hydrogen = 276;
fractioned_hydrogen = 3413;
deuterium = 1520; % 需要大量氘元素用作火箭聚变引擎的燃料
deuterium_unit = 76;
sulfuric_acid = 304;
super_magnet_coil = 38;
QIC = 38;
Casmir_crystal = 76;
subspace_selector = 76;
solar_sail = 114;
DSP_unit = 38;
framework_mat = 114;
rocket = 19;

可以看到，运载火箭的生产非常困难，每分钟最多只能生产 19 艘运载火箭，不到 20 艘！这意味着，即使集中当前存档中的所有可用资源（我的存档开发了大约一个恒星系的资源）、建立最完善的产业链，也需要大约

$$10000/20=500{\rm\ min}=8{\rm\ hr\ }20{\rm\\min}\notag$$

才能建成一个戴森球（注意，这是现实世界中的时间！）。因此，玩家要么集中多个恒星系的资源，要么长时间挂机，才能完成戴森球的建造。这也是《戴森球计划》被诟病“太肝”的原因之一。

通过对生产火箭所需原料进行分析，我们发现铁矿、钛矿、硅矿和氢元素的需求量都非常大。因此，要提高运载火箭的产量并不是一件容易的事情。需要同时提高这四种原料及其下游产业链的产量，才能有效提升运载火箭的整体产能。否则，很可能某种原料的产量形成瓶颈，出现“短板效应”。

五、总结

在本文中，我们将《戴森球计划》中的工业品生产建模为线性规划问题，求解了给定资源禀赋下（以我的存档的资源情况作为参考）一些配方复杂的终端产品的最优生产方案。从结果来看，求解器给出的结果准确而丰富，优化速度远远快于玩家手动分析。

具体而言，我们使用了 MiniZinc 约束描述语言及其自带的求解器进行建模和求解。使用求解器提供的详细数值结果，我们能够从复杂的产业链中找出工业品生产的关键原料、识别产品生产速度的瓶颈，帮助玩家更好地规划生产策略。

尽管取得了一些结果，但我的模型中仍有很多不完善之处。例如，能源物流、工厂布局、区位条件都被忽略掉了，也不能在不同工艺（生产同一工业品的不同配方）间自由选择。这些都是日后可以改进的方向。

感谢

感谢 ChatGPT 帮助我做了一些文字工作 :-)