S=1/p+1/p^2+...的各种求法

S=1/p+1/p^2+…的各种求法

StarSky 2021-9-1

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这是我的一个B站视频的补充材料，不过您愿意的话，直接读文章也可以。

B站视频传送门：1/3+1/9+…=1/2 ？？【manim练习作|一定要看到6分10以后】

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初中时，有一天早上我坐在马桶上考虑起了这样一个问题：

$$\label{prob_3_series} \frac13+\frac19+\cdots=?\tag{1}$$

在脑海中一通想象猜出答案$1/2$之后，我也不知道怎么证明，便没了主意。

进一步地，由于：

$$\frac12+\frac14+\cdots+\frac1{2^n}=1-\frac1{2^n}\\ \Rightarrow\frac12+\frac14+\cdots=1-\frac1{2^\infty}=1=\frac11\tag{2}$$

我猜想，会不会有

$$\frac1p+\frac1{p^2}+\cdots=\frac1{p-1},\forall (p\in\mathbb{Z})\land (p>1)\tag{3}$$

呢？

后来我去找初中数学老师，可她告诉我：

“很多年没有处理极限了，我也不记得怎么做了。”

于是只好作罢。不过她当时在草稿纸上龙飞凤舞的极限符号，倒是对我产生了很深的影响——我如今还在用她的花体写极限符号。

近日为了这个问题做视频，结果除了了高中数列的标准做法，还发现了好多不同的解法。由于并不是每个解法都适合做成动画，因此多余的解法我就写到这篇博文里了。在视频中出境的是前两个解法。

I.标准解法

高中数列中的标准解法。

结论（等比数列的求和公式） 对于等比数列$a_n=a_1q^{n-1}(n\in\mathbb N)$,前$n$项和为

$$\begin{align*} S_n&=a_1+a_2+\cdots+a_n\\ &= \left\{\begin{array}{ll} a_1\frac{1-q^n}{1-q} &q\neq1\\ na_1 &q=1. \end{array}\right. \end{align*}\tag{4}$$

证明$ q=1$的情况是显然的。下面考虑$q\neq1$的情况：

$$\begin{align*} S_n&=a_1+a_2+\cdots+a_n\\ &=a_1+a_1q+\cdots+a_1q^{n-1}\\ &=a_1(1+q+\cdots+q^{n-1}) \end{align*}\label{S_def}\tag{5}$$

于是我们需要对后面括号中的因子$(1+q+\cdots+q^{n-1})$求和。