高斯积分

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李辰剑
初稿 2021-3-16
修改&完成 2022-6-23

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Contents

• 引入
• 求解最简单的两项
• 利用递推求解所有高斯积分
• 一点点的进一步讨论
• 附录：$n\le9$时的高斯积分

引入

高斯积分是形如

$$\newcommand\dd{\mathrm d} \newcommand\lam{\lambda} \newcommand\intr{\int_0^\infty} \newcommand\ker{e^{-\lam x^2}} \intr x^n \ker\dd x \tag{1}$$

的定积分（严格来说是广义积分）。它的核心是$e^{-\lam x^2}$在$[0,+\infty)$上的积分，再辅以幂函数$x^n$作为佐料。这个式子看上去有些复杂，却在各种工程计算、数学推导中有着广泛的应用。例如，在麦克斯韦气体速率分布律

$$p_{\mathrm{M.B.}}(v)=c\cdot v^2\exp\left(-\frac{ mv^2}{2k_BT}\right)\tag{2}$$

中，为了计算出前面的归一化系数$c$，就需要对后面的部分进行积分，相当于计算$n=2$时的高斯积分。

在温度$T$下，达到热平衡的理想气体中气体分子的「速率」会满足一定的「统计规律」。
麦克斯韦气体速率分布是指：气体分子的速率为$v$的概率即为上述的$p(v)$.

又如，在大家耳熟能详的高斯分布

$$p_{\mathrm{Gaussian}}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\tag{3}$$

中，为了计算出前面的归一化系数$1/\sqrt{2\pi}\sigma$，也需要对后面的部分进行积分，然后调整前面的系数使得概率密度函数在全空间的积分为1.这相当于计算$n=0$时的高斯积分：

$$1=\int_{-\infty}^{+\infty}p(x)\dd x=\boxed{\cdots}\times\int e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\dd x=\boxed{\cdots}\times\sqrt{2\pi}\sigma\notag \\ \implies\boxed{\cdots}=\frac 1{\sqrt{2\pi}\sigma}$$

怎么感觉都是在计算归一化系数啊喂0.0

下面，我们将高斯积分定义为

$$I_n(\lam):=\intr x^n\ker\dd x,\quad n=0,1,2...,\ \lambda>0\tag{4}$$

并在后面两节中试图求解。这里加入参数$\lam$，是因为很多实际计算中指数上也会出现系数。

求解最简单的两项

由于不定积分$\int e^{-\lam x^2}\dd x$很难用初等函数表示，因此计算高斯积分并不容易。我们先求出$n=0,1$时的高斯积分数值，再通过构建递推关系式得到所有高斯积分。

事实上$n=1$的情况非常好求解，这是因为凑微分可以得到$e^{-\lam x^2}\dd x^2$的结构，从而就化归为了平凡的指数函数求积分问题：

$$\begin{align*} I_1(\lam)&=\intr x\ker\dd x\\ &=\intr \ker \dd\Big(\frac{x^2}{2}\Big)\\ &\overset{\xi=x^2}{=}\frac 12\intr e^{-\lambda \xi}\dd \xi\quad\\ &=\frac{1}{2\lam}\tag{5} \end{align*}$$

然而求解$n=0$的情况就麻烦了。没有了”狗腿子“$x$的帮助，我们就凑不出微分，也就不能像前面一样化归为简单函数的积分。因此，我们必须另辟蹊径。下面，我们将一维空间上的$I_0$与一个二维平面上的重积分联系起来，而后者可以转化为对$I_1$的求解，从而最终得到$I_2(\lam$).

记$A$为下列二重积分：

$$\begin{align*} A&=\iint_{\mathbb{R}^2}e^{-(x^2+y^2)}\mathrm dx\mathrm dy\\ &=\iint_{\mathbb{R}^2}e^{-r^2}\mathrm d\sigma\tag{6}\\ \end{align*}$$

则

$$\begin{align*} A&=\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm dx\cdot e^{-x^2}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm dy\cdot e^{-y^2}\right]\\ &=\left(\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm dx\cdot e^{-x^2}\right)\cdot\left(\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm dy\cdot e^{-y^2}\right)\\ &=\left(\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm dx\cdot e^{-x^2}\right)^2=4[I_0(1)]^2\tag{7} \end{align*}$$

这样就建立了二重积分$A$和高斯积分的联系。而另一方面，我们又可以在极坐标中直接将$A$积出：

$$\begin{align*} A&=\iint_{\mathbb{R}^2}e^{-r^2}\mathrm d\sigma\\ &=\intr\dd r\cdot re^{-r^2}\int_0^{2\pi}\mathrm d\theta\\ &=2\pi\intr\dd r\cdot re^{-r^2}\\ &=2\pi I_1(\lam=1)=\pi\tag{8} \end{align*}$$

这两个推导当中有一点细节…有兴趣的话可以慢慢看，没兴趣的话跳过也无妨。

于是我们得到：

$$I_0(1)=\frac{\sqrt A} 2=\frac{\sqrt\pi}{2}\\ \begin{align*} \implies I_0(\lam)&=\intr e^{-\lam x^2}\dd x\\ &=\frac 1{\sqrt\lam}\intr e^{-(\sqrt\lam x)^2}\dd (\sqrt\lam x)\\ &=\frac 1{\sqrt\lam}I_0(1)=\frac12\sqrt{\frac{\pi}{\lam}}\quad\square.\tag{10} \end{align*}$$

可以看到。$I_0$的求解并不显然，我们利用二重积分进行“升维打击”，最后才在极坐标中化归为$I_1(\lam)$.这一技巧看上去很难。但实际上这一方法不是“难”，而是「巧夺天工」：其它大多数无穷积分都没有这样巧妙的求解方法，必须引入留数定理、拉普拉斯变换等更高级的方法才能求解。

通过递推求解所有高斯积分

在前一节，我们求出了$I_0(\lam)$和$I_1(\lam)$的值。实际上，这已经足够应付不少场景了。但是在诸如麦克斯韦速率分布和$\chi^2$分布这样的高维场合中仍然不够用。因此我们想要求解所有的$I_n(\lam)$.

读者可能会想，求解$n=0,1$时的高斯积分已经如此费劲，那$n=2,3,…$时的情况岂不是更难处理？但实际上，只要求一次偏导，就可以很便捷地用$I_0$和$I_1$递推得到所有的$I_n(\lam)$.

在带参变量的积分$I_n(\lam)$中，考虑对参量$\lam$求导：

$$\begin{align*} \frac{\dd}{\dd\lam}I_n(\lam)&=\frac{\dd}{\dd\lam}\intr x^n\ker\dd x\\ &=\intr x^n\frac{\partial }{\partial \lam}\ker\dd x\\ &=\intr x^n\cdot (-x^2\ker)\dd x\\ &=-\intr x^{n+2}\ker\dd x\\ &=-I_{n+2}(\lam)\tag{11} \end{align*}$$

注 第二行中用到了积分与求导交换，严格来说需要考虑这两个微积分运算可交换性的问题。
可交换的一个充分条件是：广义积分$I(\lam)$对不同的$\lam$一致收敛。因此我们只需确认积分的一致收敛性即可。

一般来说，带有指数压低的积分收敛是很快的，因此收敛性没有问题。但是要考虑「关于参量$\lam$的」一致收敛性就会微妙一些。

设$I(\lam)$对于某个给定的$\lam_0$收敛，那么对$\forall \lam>\lam_0$积分只会收敛得更快。因此$\lam_0$时的收敛速度可以bound住$\forall \lam(>\lam_0)$时的收敛速度。即，对于$\forall \lam_0>0$, $I(\lam)$在$[\lam_0,+\infty)$上一致收敛。进而，积分与求导是可交换的。

唯一的问题是$\lam\to 0$时$I(\lam)\to\infty$，此时无法考虑这一广义积分的收敛性和一致收敛性。但是实际使用中并不需要$\lam\to0$！对于任意的实际问题，我们只需要取一个足够小的$\lam_0$即可。

这相当于：

$$I_{n+2}(\lam)=-\frac{\dd}{\dd \lam}I_n(\lam)\tag{12}\label{recur1}$$

也就是说，我们建立了由$I_n$到$I_{n+2}$的递推公式！求导是容易计算的，因此这是一个可行的计算式。虽然$n$和$n+2$之间隔隔了一项，但我们正好计算出了$I_0(\lam)$和$I_1(\lam)$，可以满足计算所有$I_n(\lam)$的要求。因此我们得到了一个计算所有$I_n(\lam)$的通式。

另一种得到递推式的方法是分部积分。在这种含指标参量$n$的积分中，用分部积分改变$n$从而逐渐求解积分是一种很常见的方法。

$$\begin{align*} I_{n-1}(\lam)&=\intr x^{n-1}\ker\dd x\\ &=\frac 1n\intr \ker \dd x^n\\ &=\frac 1n\left(\left.x^n\ker\right|_0^\infty-\intr x^n\dd(\ker)\right)\\ &=-\frac 1n\intr x^n(-2\lam x)\ker\dd x\quad (\text{assume }n\ge 1)\\ &=\frac{2\lam}{n}\intr x^{n+1}\ker\dd x = \frac{2\lam}{n}I_{n+1}(\lam)\tag{13}\label{recur2} \end{align*}\\ \implies I_{n+2}(\lam)=\frac{n+1}{2\lam}I_n(\lam) \quad (n\ge0)$$

这里我选择把$x^n$塞进微分进行分布积分；但事实上把$\ker$塞进微分进行分部积分也是可以的，会得到相同的结果。有兴趣的同学可以试一试。

可以看到，和微分得到的递推式相比，虽然形式不同，但仍然是相差两次的递推式。这好像在告诉我们：$n=奇数$和$n=偶数$时的高斯积分之间有一道相当深的鸿沟，一般的方法很难跨越。

得到了递推关系，我们就可以很方便地求解次数$n$更高时的高斯积分了。例如，$n=2$时有：

$$I_2(\lam)=-\frac{\dd}{\dd\lam}I_0(\lam)=-\left(\frac 12\sqrt{\frac\pi\lam}\right)'=\frac{\sqrt\pi}{4}\lam^{-3/2}\tag{14}$$

或：

$$I_2(\lam)=\frac{1}{2\lam}I_0(\lam)=\frac1{2\lam}\cdot\frac12\sqrt{\frac{\pi}{\lam}}=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{\pi}{\lam^3}}\notag$$

进一步地，还可以求解$n=3$的高斯公式：

$$I_3(\lam)=-\frac{\dd}{\dd\lam}I_1(\lam)=-\left(\frac 1{2\lam}\right)'=\frac{1}{2\lam^2}\tag{15}$$

一点点的进一步讨论

在这一节，我们对上一节得到的结果稍加挖掘；然后给出高斯积分的通项（而非递推）公式。

在上一节，我们给出了高斯积分的两个递推公式$\eqref{recur1}$和$\eqref{recur2}$：

$$\left\{\begin{array}c I_{n+2}=-I_n'(\lam)\\ I_{n+2}=\frac{n+1}{2\lam}I_n(\lam) \end{array}\right.\tag{16}$$

虽然两个公式都是二阶递推式，但形式不一样。能不能将$I_{n+2}$消去，求解出一些东西呢？

$$\implies I_n'(\lam)=-\frac{n+1}{2\lam}I_n(\lam)\tag{17}$$

这是一个关于$\lam$的一阶微分方程，很容易可以解（凑）出：

$$I_n(\lam)\propto \lam^{-\frac{n+1}{2}}\tag{18}$$

将前面计算出的$I_0\sim I_2$带入验算，很容易发现它是正确的。注意，我们无法用这样的方式求解高斯积分，因为前面还有一个依赖于$I_n$边值条件的常数；但我们可以得到$I$对$\lam$的依赖关系。由于$-(n+1)/2<0$，因此$I_n(\lam)$随$\lam$的增加而减小。这是符合预期的：$\ker$作为积分中的指数压低因子，$\lam$越大，积分越小。

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前一节我们得到了高斯积分的递推公式。这一递推关系并不复杂，能否推出计算更方便的通项公式呢？答案是肯定的。

分奇偶讨论，不难得到：

$$\begin{align*} I_{2k}(\lam)&=\frac{2k-1}{2\lam}I_{2k-2}(\lam)\\ &=\frac{(2k-1)\cdot(2k-3)\cdots1}{(2\lam)^k}I_0(\lam)\\ &=\frac{(2k-1)!!}{(2\lam)^k}\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2}\lam^{-1/2}\\ &=\frac{(n-1)!!}{(2\lam)^{n/2}}\cdot\sqrt{\frac{\pi}2}\sqrt{\frac1{2\lam}}\\ &=\sqrt{\frac\pi2}\cdot\frac{(n-1)!!}{(2\lam)^{\frac{n+1}2}}\tag{19} \end{align*}$$

其中，$k\in\mathbb N$, $n!!=n(n-2)(n-4)\cdots(到1|2为止)$是双阶乘记号（为了处理$n=0$时$(n-1)!!$没有定义的问题，可以约定当$n’<0$时$n’!!=1$）。

对奇数，有：

$$\begin{align*} I_{2k+1}&=\frac{2k}{2\lam}I_{2k-1}(\lam)\\ &=\frac{(2k)\cdot(2k-2)\cdots2}{(2\lam)^k}I_1(\lam)\\ &=\frac{(2k)!!}{(2\lam)^k}\cdot\frac 1{2\lam}\\ &=\frac{(n-1)!!}{(2\lam)^{\frac{n-1}2}}\cdot\frac1{2\lam}\\ &=\frac{(n-1)!!}{(2\lam)^{\frac{n+1}2}}\tag{20} \end{align*}$$

这里没有把分子分母上的$2$全部约去，是为了和$n$为偶数时保持相同的形式。

于是，我们就得到了高斯积分$I_n(\lam)$的通向公式：

$$I_n(\lam)=\left\{\begin{array}c \sqrt{\frac\pi2}\cdot\frac{(n-1)!!}{(2\lam)^{(n+1)/2}} & \quad n偶\\ \phantom{\sqrt{\frac12}\cdot}\frac{(n-1)!!}{(2\lam)^{(n+1)/2}} & \quad n奇 \end{array}\right.\tag{21}$$

通项公式虽然看上去复杂，但其实并没有特别non-trivial的地方——推导过程也是完全初等的。唯一值得注意的是奇数和偶数时通项公式之间相差的$\sqrt{\pi/2}$因子——这很容易让人联想到$\intr\sin^nx\dd x$的通项公式。我相信，高斯积分和三角函数、和圆之间还有一些隐藏的联系等待我们去发现。

附录：$n\le9$时的高斯积分表

最后，我将$n=0\sim9$时的高斯积分$I_n(\lam)$计算后列于此，以便读者和我日后查阅。

$$\begin{align*} &I_0(\lam)=\intr \ker\dd x=\frac 12\sqrt{\frac{\pi}{\lam}} &I_1(\lam)=\intr x\ker\dd x=\frac{1}{2\lam}\\ &I_2(\lam)=\intr x^2\ker\dd x=\frac 14\sqrt{\frac{\pi}{\lam^3}} &I_3(\lam)=\intr x^3\ker\dd x=\frac{1}{2\lam^2}\\ &I_4(\lam)=\intr x^4\ker\dd x=\frac 38\sqrt{\frac{\pi}{\lam^5}} &I_5(\lam)=\intr x^5\ker\dd x=\frac{1}{\lam^3}\\ &I_6(\lam)=\intr x^6\ker\dd x=\frac {15}{16}\sqrt{\frac{\pi}{\lam^7}} &I_7(\lam)=\intr x^7\ker\dd x=\frac{3}{\lam^4}\\ &I_8(\lam)=\intr x^8\ker\dd x=\frac {105}{32}\sqrt{\frac{\pi}{\lam^9}} &I_9(\lam)=\intr x^9\ker\dd x=\frac{12}{\lam^5}\tag{22} \end{align*}$$