原子核有结构吗？
〇.引言
从初中开始，我们就被告知原子具有这样的结构：而带负电的电子则在核外进行着稀奇古怪的运动，而带正电的质子和不带电的中子则聚成一团，乖巧地待在中央。
到了高中，我们进一步理解了电子的壳层模型，惊讶于如此简洁的电子模型竟可以构建起复杂键价理论，惊讶于电子的简单变化竟可以创造出如此丰富多彩的化学世界。与之相比，原子核便显得有些无趣了。中子和质子缩成一团，均匀而缺乏层次（至少在许多科普插图中是如此）。电子是活泼的，在各种化学反应中总是从一个原子身边跳到另一个原子身边，而通过对这种过程的研究，我们也得以加深对电子的理解。与之相比，原子核便显得高冷许多，只有在核反应中才会发生变化。而核反应，例如裂变、天然衰变，往往条件苛刻，很少发生。这也让我们对原子核知之甚少，如同面对一位深居简出的大人物。
如果你对原子核的”一团浆糊“模型感到不满意，一个自然的问题便是，原子核是否有结构？如果有，是什么样的？这种结构是如何导致神秘的核反应发生的呢？进一步地，原子核是否也像核外电子一样，有可能有丰富多彩的能级呢？如果有，那为什么我们平常没有观测到呢？这便是下面将要回答的问题。
一.深藏不露的原子核
具体介绍原子核的内部结构之前，我们先要回答的问题是：为什么我们平时看到的、了解到的原子核现象这么少？我想给出的原因主要有两个：
一是能级太高。为了让读者对这一问题能有直观理解，我们先从主导化学反应的核外电子讲起。
对氢原子的核外电子，其实我们可以解出其波函数，并进一步给出核外电子的能级：
这告诉我们，氢原子核外电子的基态能量（最低能量，即$n=1$时）是：
这个结果的物理意义是，对于$1\mathrm{mol}$的氢原子，要将其核外电子全部电离，需要$1310kJ$的能量。这是一个什么概念呢？
如果用热力学的方法进行换算，这么多能量差不多相当于物体处于一万度以上时，每个原子才能具有的内能！与之相比，主导物态变化的范德华力（分子间作用力）往往只有$10\ \mathrm{kJ/mol}$每量级，差不多相当于物体在一百度上下时每个分子具有的内能；这也是为什么我们能在日常生活中看到腾云覆雨、物态变化的原因。
对于化合键中的极强者，如氢-氧键，其键能只有$464\ \mathrm{kJ/mol}$，即分解一摩尔氢氧键需要$464\ kJ$能量。这导致由氢氧键结合的水分子极其稳定，即使在$1000$度以上的高温也很少分解。因此，一般来说，化学反应比物态变化要发生得少得多、慢得多，因为需要更高的能量。
原子核的能级一般在什么量级呢？答案是：对于稳定的核素，$\sim10\mathrm{MeV}$.其中，M表示”百万“，即一千万$eV$,比氢原子的能级还要高出一百万 倍！这意味着原子核需要极极极高的能量才能发生反应，条件极其苛刻，因此很少被看到。只有非常不稳定的原子核，例如放射性重核，才能在自发地裂变；又或者是非常极端的高温下，如温度高达几百亿度的太阳中心，原子核真的有那么多内能来提供核反应，于是才发生了核聚变反应。
| 作用力 | 能量 | 等价于多少温度时物体具有的能量？ | 主导的作用 |
|---|---|---|---|
| 范德华力 | $\sim10\mathrm{kJ/mol}$ | $\sim 100^\circ \mathrm{C}$ | 物态变化（蒸发，凝结等） |
| 化合键 | $100\sim500\mathrm{kJ/mol}$ | $\sim1000^\circ \mathrm{C}$ | 化学反应 |
| 电子能级 | $\sim10\mathrm{eV}, \sim1000\mathrm{kJ/mol}$ | $\sim10000^\circ \mathrm{C}$ | 原子电离，极其高能的化学反应 |
| 核能级 | $>50\mathrm{MeV}$ | $\sim10000000^\circ \mathrm{C}$ | 核反应，例如太阳核心的轻核聚变 |
二是太难计算。曾有人调侃物理学家：
他们知道关于一、二和无穷多的一切，在二和无穷之间，他们便一无所知了。
这句话的意思是，物理学家能精确求解一个或两个物体的运动状态，对于无穷多个物体倒也能通过平均的方法处理；但是对于物体数量大于二，却又不是充分大（从而平均处理时误差会比较大）的多体系统（例如，三体问题），他们便完全没有办法精确处理了。
原子物理中亦是如此。对于简单（质子和电子组成的两体系统）的氢原子，在忽略了电子自旋和亿些其它因素之后，物理学家还是设法求出了其波函数，其表达式看上去已经非常疯狂了：
其中的$L,P$代表两个稀奇古怪的多项式（“拉盖尔多项式”和“连带勒让德多项式”）。而将上式画图，我们就能得到我们高中时熟悉的电子云图：
氢原子电子云
好吧，我承认我写出这个式子多少有点吓唬人的想法，但我的目的确实如此，即，让读者认识到求解量子力学问题是一件非常困难的事情。
不幸的是，原子核比氢原子复杂得多。原子核往往由一大团质子和中子组成，通过强相互作用黏合在一起——这是一种比粘合氢原子的库仑力还要复杂得多的相互作用。这个体系求不出精确解，而且，由于核子数量众多，即使是在计算机如此发达的今天，许多时候数值解也非常难求。几十年来，提出了各种近似模型来试图解决这一问题；事实上，在物理学院专门有一门课《量子多体》，就是教授处理类似问题的方法的。
没有简洁清晰的结果，就意味着难以形成公认的规范、也难以向大众进行科普——例如，没有被写进中学的教科书。我想，这则是原子核的结构很少被大众了解的另一个重要原因。
二.原子核结构初探
到了这里，我们终于开始正式介绍核模型了。前面说过，物理学家只会处理$N=1,2,+\infty$的系统。于是，面对原子核这样一个复杂的多体系统，物理学家们便开始疯狂的近似，直到他们能处理为止。
其中最疯狂的近似，无疑是气体模型，即忽略核子（中子和质子）间所有的相互作用，把原子核中的质子和中子看成是一团软绵绵的气体，在球状的原子核“容器”中运动。离谱的是，在进行了如此夸张的简化之后，这一模型竟还是能解释一些现象。
具体来说，气体模型认为每个核子受其余核子形成的总势场作用，每个核子都处在这一势阱之中。外围高高的势阱就好像无法跨越的高墙，将核子围在了里面，从而起到了“容器”的作用。势阱之内，核子则能自由运动。气体模型成功之处，在于它可以证明质子数和中子数相等的核最稳定——这与事实是基本相符的。此外，用气体模型计算出的核势阱深度约为$-50\mathrm{MeV}$（还记得之前提到的核能级量级吗？），与实验结果接近。不过近似总是有代价的，这一模型过于简单，难以解释后来发现的许多新事实。
如果考虑强相互作用，进行一系列简化，则可以得到一个稍好一些的模型——液滴模型。实验发现，原子核的体积正比于核子数，就好像核子有固定的体积、不可压缩一样（这是液体的典型性质）。另一方面，由于强相互作用力力程很短，核子的大小又差不多，于是便出现了这样的怪事：核子们挤在一起、一个个紧挨着；而每个核子几乎只能受到围绕在周围一圈的核子的相互作用，源头更远的强相互作用因为衰减太快而变得很弱。这样一来，核子之间的强相互作用就好像液体中分子间的范德华力，只和周围的单位有相互作用。将核子比作液体进行处理，这种模型叫液滴模型。
液滴模型示意图
虽然比气体模型进了一步，但液滴模型仍然眉毛胡子一把抓，把所有核子同等对待。有没有更精细（delicate）一些的模型呢？答案是肯定的。
科学家们发现，当质子数Z和中子数 N 分别等于下列数（称作幻数）：2、8、20、28、50、82、126 之一时，原子核特别稳定。这与核外电子的行为模式有些相似，即电子满壳层时特别稳定。这不禁让人联想：原子核中的核子是否也和核外电子一样，具有壳层结构呢？某个核子壳被填满时，核便特别稳定。
于是就真有物理学家这么做了。M. G. Mayer和J. H. D. Jensen在1949年提出了壳层模型(shell model)。在经过了复杂的计算，并考虑了一些奇怪的相对论量子效应（准确来说，自旋-轨道耦合）之后，物理学家们给出了每一个核子所能处在的态及其对应的能级：
壳层模型能级
其中，每一条横线对应一个核子可以处在的态，从下到上能量依次增高，类似电子轨道。可以看到，在前2、8、20、50、82、126、184态和它们的上一个态之间，有一个很大的能级差，我称之为能级裂谷。处在裂谷下岸的核子难以跨过裂谷跃迁到高能级。满壳层的核（又称”幻核“），核子刚好挤满了某个裂谷的下岸，难以向上跃迁，显得稳定。另一方面，处在能级裂谷之上的原子核能量很高，容易发生反应跌落到低能级上。这样一来一去，就给出了幻核特别稳定的结果，成功解释了现象。
换一个角度来看，裂谷之间考得较紧的能级组，构成了核的每一个”壳层“，当壳层被填满时核便特别稳定，这也是”壳层模型“这一名称的由来原因之一。事实上，填充在某个壳层的核子，真的表现得像球壳一样：它们在核中近似地占据一层球壳空间，壳层填满时原子核接近球形，而壳层只填了一半时则会让球壳一边厚一边薄，使得原子核变成一头重一头轻的椭球形。
研究人员计算的重核中的核子密度分布。左侧是中子密度，右侧是质子密度。单位是费米($\mathrm{fm}$)，$1\mathrm{fm}=10^{-15}\mathrm{m}$.
到了这里，我想大家可能发现，在这么多模型中，大家都叫”XX模型“，而不是”XX理论“。一般来说，”理论“是指精确而成熟的物理理论，要求从原理出发导出结果，可以给出细致的物理图像。例如”玻尔的氢原子理论“，可以精确地给出核外电子的轨道半径。而”模型“则是指通过数学进行建模、抽象、演绎，然后唯象而近似地对客体进行描述。很不幸，原子核的复杂程度令物理学家们无法直接攻破，只好用各种方式近似，并给出一个”还算令人满意“的模型，也就是前述的气体模型、液滴模型和壳层模型。
不幸的是，即使是复杂的壳层模型也有不尽如人意的地方，用物理学家的话来说，就是：
对电四极矩的预计与实验值相差甚大，对核能级之间的跃迁速率的计算也大大低于实验值.
唔…这些晦涩的术语我不打算解释了，最后的结局是物理学家们提出了新的“集体运动”模型。将壳层模型和集体模型综合起来，你就得到了现代物理理解原子核最成功的模型，可以很好地解释大部分现象。
壳层模型认为，每个核子填充一个能级，核子之间没什么相互作用——就好像一座高楼中的单人住户一样，自己管自己。但事实上，原子核是一个整体，就如同一个几十个人组成的班级一样，核子之间有着相互作用，是一个整体。考虑这种相互作用给原子核带来的整体形变（转动、振动等），就得到了集体运动模型。集体模型中，最外层壳层只填满了一半的核会因为核子相互作用而偏离球形、变成椭球形；而一旦变成了椭球形，核整体就有了电四极矩，而且可以转动；而转动就会带来不同的转动能级（这是一个量子力学效应）。对于靠近满壳层的球形核来说，则可能发生表面的上下浮动，产生振动能级（也是一个量子力学效应）。这给核的带来了更丰富的能级，能解释更多的现象，同时也让它更复杂了。
球形核的表面振动
你也许会问，既然最外层的核子会对内部的核子壳层有影响从而改变壳层形状，那么，我们高中学过的核外电子体系有没有类似的效应呢？答案是有的，这种理论叫价层电子对互斥理论(VSPER)，描述了最外层的电子如何改变电子云的形状——可以很好的解释一些分子的电子云取向和分子构型，在化学竞赛中有重要的应用，嗯…高中课内不讲也许是因为太难了。
到了这里，我对原子核结构的介绍就结束了。很惊讶，是不是？本以为一团浆糊一样的原子核，竟然也有如此丰富而复杂的结构，其能级结构比核外电子复杂得多。很可惜，原子核，不像核外电子一样能给出一个清晰简洁的结构，因为原子核实在是太复杂了。而且由于原子核的能级总是很高($\sim\mathrm{MeV}$)，现实生活中也很少看到核反应。
即使面对这样的复杂性，科学家们也没有放弃。一代又一代的物理学家们前赴后继，不断地完善模型。气体模型，液滴模型，壳层模型…一个个理论在成功与失败之间螺旋上升、徐徐前行，才有了今天人类对原子核的理解。