高斯积分

---

李辰剑
初稿 2021-3-16
修改&完成 2022-6-23

---

Contents

• 引入
• 求解最简单的两项
• 利用递推求解所有高斯积分
• 一点点的进一步讨论
• 附录：$n\le9$时的高斯积分

引入

高斯积分是形如

$$\newcommand\dd{\mathrm d} \newcommand\lam{\lambda} \newcommand\intr{\int_0^\infty} \newcommand\ker{e^{-\lam x^2}} \intr x^n \ker\dd x \tag{1}$$

的定积分（严格来说是广义积分）。它的核心是$e^{-\lam x^2}$在$[0,+\infty)$上的积分，再辅以幂函数$x^n$作为佐料。这个式子看上去有些复杂，却在各种工程计算、数学推导中有着广泛的应用。例如，在麦克斯韦气体速率分布律

$$p_{\mathrm{M.B.}}(v)=c\cdot v^2\exp\left(-\frac{ mv^2}{2k_BT}\right)\tag{2}$$

中，为了计算出前面的归一化系数$c$，就需要对后面的部分进行积分，相当于计算$n=2$时的高斯积分。

在温度$T$下，达到热平衡的理想气体中气体分子的「速率」会满足一定的「统计规律」。
麦克斯韦气体速率分布是指：气体分子的速率为$v$的概率即为上述的$p(v)$.

又如，在大家耳熟能详的高斯分布

$$p_{\mathrm{Gaussian}}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\tag{3}$$

中，为了计算出前面的归一化系数$1/\sqrt{2\pi}\sigma$，也需要对后面的部分进行积分，然后调整前面的系数使得概率密度函数在全空间的积分为1.这相当于计算$n=0$时的高斯积分：

$$1=\int_{-\infty}^{+\infty}p(x)\dd x=\boxed{\cdots}\times\int e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\dd x=\boxed{\cdots}\times\sqrt{2\pi}\sigma\notag \\ \implies\boxed{\cdots}=\frac 1{\sqrt{2\pi}\sigma}$$

怎么感觉都是在计算归一化系数啊喂0.0