从电子双缝干涉到超导干涉(SQUID)

作者 软件所 李辰剑
审核 物理所 丁兆晴
发布 2024-3-25

难度 大学理科水平 ★★★★

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在超导量子计算的技术栈中，常常会出现一个名词：SQUID（超导干涉装置）。SQUID 非常重要，在量子计算、高精度磁场探测中都有应用，但原理乍一看又颇为复杂，使读者觉得食之无味、弃之可惜。于是，在这篇文章中，我将试图从电子双缝衍射和 AB 效应出发，以一种比较自然的方式引入 SQUID 的结构。

目录

一 SQUID 简介

二 电子双缝衍射实验

三 Aharanov-Bohm 效应

四 超导量子干涉 (SQUID)

一 SQUID 简介

SQUID 的全称是 Superconducting QUantum Interference Device, 即超导量子干涉装置。SQUID 的结构很简单，在一块复联通的（即一块挖了洞的超导体）上加上两个约瑟夫森结，便得到了最基本的 SQUID。由于电子波函数的相位会受到周遭磁场（准确来说是磁矢势）的影响，因此在当中那个洞被磁场穿过时，旁边超导体内电子对波函数的相位便会发生变化。这种变化在超导体被断开的约瑟夫森结处造成了相位差，通过约瑟夫森结的电流便会相应地发生变化，产生宏观可观测的效应。量子力学告诉我们，通过当中洞孔的磁通仅仅变化一个磁通量子 $\Phi_0=\frac{h}{2e}$ 时，电子波函数的相位就会变化 $2\pi$，也就是转过”一整圈“。磁通量子的数值正比于普朗克常数、是一个非常小的物理量，这使得 SQUID 对中磁场的变化极为敏感。在普通导体中，晶格碰撞太厉害、耗散非常严重，电子波函数的相位会收到强烈的干扰，难以形成稳定干涉；因此，只有在无耗散的超导材料中，电子波函数的干涉才能稳定进行。由于最终是相位差造成了可观测效应，因此这一装置又被称为“干涉装置”。

SQUID 示意图

二 电子双缝衍射实验

电子双缝衍射实验大家也许并不陌生，这可能是量子力学的科普中被出现频率最高的一个实验了。再电子双缝干涉中，单个电子的波函数同时经过双缝，在自由空间中传播、最终到达到观察平面，形成命案相间的干涉条纹。为了简化问题，不妨假设在自由空间中传播的电子是平面波（略去归一化常数），即可以写成如下的形式：

$$\newcommand\vec[1]{\boldsymbol{ #1}} \psi(\vec r)=e^{i\vec p\cdot\vec r/\hbar}$$

电子双缝干涉实验示意图

那么沿两条不同路径来到观察平面上的某一点 $x$ 时，两臂的波函数就会产生相位差：

$$\renewcommand\dd{\mathrm{d}} \Delta\phi_0=\frac{1}{\hbar}\int_{C_1}\vec p\cdot\dd\vec l-\frac{1}{\hbar}\int_{C_2}\vec p\cdot\dd\vec l = \frac{1}{\hbar}p\Delta l$$

其中 $\Delta l$ 表示路径 $C_1$ 和 $C_2$ 的长度之差。由于相位会随着空间位置的变化而变化，因此观察平面上不同位置的波函数便会干涉相长或者相消，形成类似正弦函数的震荡变化趋势。（见左图的观察平面）

注意，电子双缝衍射和光的双缝衍射实验非常相似，只是把电磁学中双缝衍射实验的对象从光换成了电子。但关键之处在于，我们将电子看成了(i)有相位且(ii)有空间弥散的波函数，这是经典电磁学所没有考虑过的。在经典电磁学中，电子只是一个没有体积、完全聚集的点粒子，相位就更无从谈起了。

三 Aharanov-Bohm 效应

在有磁场的情况下，上述实验会发生怎样的变化呢？理论物理诉我们，当电磁场存在的时候，电子的“动量”会变成 $\vec p=m\vec v\to\vec P=m\vec v+q\vec A$，需要带上电磁场的动量。这里的 $\vec A$ 是一个被称为“磁矢势”的物理量。满足

$$\oint_{\partial S} \vec A\cdot \dd \vec l=\iint_S \vec B\cdot\dd \vec S=\Phi_S$$

即，绕着一个曲面的磁矢势积分等于磁场在这个曲面上的面积分，也就等于这个曲面的磁通量。对磁矢势 $\vec A$ 的详细论述我们暂且按下不表，这里我们只需要知道它和电场磁场一样是一种描述电磁场的方式，只不过略微高级一些。

如果你对技术细节感兴趣的话，在电磁场中电子波函数的薛定谔方程会相应地变为：

$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(\vec r,t)=\left[\frac{(- i\hbar\nabla{\color{crimson}-q\vec A})^2}{2m}+V(\vec r, t)\right]\psi(\vec r, t)$$

注意，红色项是新加入的。这从原理上解释了下面波函数的变化。

此时，平面波自由电子，的波函数描述也需要相应地把动量 $\vec p$ 替换成「正则动量」$\vec P$：

$$\psi(\vec r)=e^{i\vec{\color{crimson}P}\cdot\vec r/\hbar}$$

这告诉我们，当空间中存在磁场时，磁场（或对应的磁矢势 $\vec A$）也会影响电子波函数的相位。

由于 $ \vec A(\vec r)$ 的存在，如果 $\vec P$ 在空间中有变化、不是常数，怎么办呢？这时只需要把空间拆成很多份，分开计算电子走过每一段路程时 $\vec P$ 的贡献即可。反映到波函数上，就是指数上的常值矢量变成了沿空间路径的积分（和前面一样，忽略振幅的变化）：

$$\psi(\vec r)/\psi(\vec r_0)=\exp\left\{\frac{i}{\hbar}\int_{\vec r_0\to\vec r}\vec P(\vec r)\cdot\dd\vec l\right\}$$

假设我们在电子从小孔走向观察平面的路径之间插入一些磁场——例如，插入一根纵向的通电螺线管——那么沿两条路径到达 $x$ 的电子波函数的相位差就变为：

AB 效应示意图

$$\begin{align} \Delta\phi&=\frac{1}{\hbar}\left(\int_{C_1}\vec P\cdot \dd\vec l-\int_{C_2}\vec P\cdot \dd\vec l\right)\\ &=\frac{1}{\hbar}\left(\int_{C_1}\vec p\cdot \dd\vec l-\int_{C_2}\vec p\cdot \dd\vec l\right) -\frac{q}{\hbar}\left(\int_{C_1}\vec A\cdot \dd\vec l-\int_{C_2}\vec A\cdot \dd\vec l\right) \end{align}$$

注意，第一项就是我们前面计算得到的无磁场时的相位差，而第二项刚好就是沿着 ($C_1-C_2$) 闭合回路的积分

$$\begin{align} &=\Delta \phi_0-\frac{q}{\hbar}\oint \vec A\cdot\dd\vec l\\ &=\Delta\phi_0-\frac{q}{\hbar}\iint \vec B\cdot\dd\vec l\\ &=\Delta\phi_0-\frac{q}{\hbar}\Phi \end{align}$$

利用前面提到的磁矢势满足的关系，就可以把第二部分写成穿过 ($C_1-C_2$) 回路的磁通。这个式子告诉我们，如果在电子双缝干涉实验中加入磁场，那么磁场就会在原有的空间相位差之外额外引入一项相差，相差的大小取决于穿过回路的磁通。反映到干涉条纹上，便是干涉图案左右平移。Aharanov 和 Bohm 在 1959 年预言了这一现象，在 1960 年便在实验中得到证实。这一现象也因此被命名为 Aharanov-Bohm 效应，或简称 AB 效应。

AB 效应原论文，目前谷歌学术引用量已接近 1 万

顺带一提，Aharanov 在量子力学的研究中做出了许多贡献，量子计算中著名的量子随机游走也是这位大佬提出的（准确来说是提出者之一）。

Aharanov 的谷歌学术主页，提出 AB 效应的论文（第一篇）和提出量子随机游走的论文（第四篇）赫然在列

回顾整个 AB 效应，不难发现其中的关键物理效应在于磁场会影响周围电子的波函数，而且是影响相位。由于影响的方式是相位，这使得 干涉条纹对磁场的变化极为敏感。相位和一般物理量不同：一般物理量的很小的相对变化很难被检测到，例如，一根棍子的长度从 4 单位变成 4.001 单位，相对变化只有 0.25‰，很难检测。但是相位不同，不论是从 $2\pi$ 变成 $3\pi$ 还是从 $114514\pi$ 变成 $114515\pi$，反映在振幅上都是一次彻底的翻转。因此，基于相差的各种仪器往往能感受到极为灵敏的物理量变化，例如曾经用来探测以太的迈克耳孙-莫雷干涉仪、光学实验中用于高精度分光的马赫曾德尔干涉仪等等。

相位是一种很“敏感”的物理量

前文中对 AB 效应可观测现象的描述是“干涉条纹的平移”；但是稍加思考就能发现，这一实验也可以反过来用来测量磁场，而且是高精度的测量。如果我们固定地关注观察平面上某一点的相差，便会发现它只依赖于磁场，准确来说，只依赖于穿过电子波函数回路的磁通：

$$\Delta \phi({\color{crimson} \Phi})=\Delta\phi_0+\color{crimson}{\frac{e}{\hbar}\Phi}$$

相差每变化 $\sim\pi$，就能产生明显的宏观可观测效应。在电子双缝干涉实验中，便是使干涉条纹发生变化。注意上式中的普朗克常数 $h$：这是一个极小的物理常数，常常和世界上各种最小的量子极限联系在一起。它出现在磁通的分母上，意味着即使磁通量只变化一点点，也能让相位差产生很大的变化。经过简单的计算可以得到，基于上式原理能探测的最小磁通变化为 $\sim 10^{-15}\ \mathrm{Wb}$。根据 $\Phi=BS$ 简单估计，如果能构成一个面积为 $1\ \mathrm{cm}^2$ 的电子波函数回环，那么对其中磁场强度的测量灵敏度可以达到 $\Delta B\sim 10^{-9} \mathrm{T}$，远超任何常规（不涉及量子效应的）磁场探测器的灵敏度！

四 超导量子干涉 (SQUID)

AB 效应——或者说带磁场的电子双缝干涉——的设计固然巧妙，但如果直接用来测量磁场，还是有着种种不便之处。电子源、双缝屏，使用起来都有些麻烦。这时，如果把 AB 效应中电子波函数的通路固定在超导环中，就得到了超导量子干涉装置(Superconducting QUantum Interference Device)，一种前者的改良版本。

双缝干涉到 SQUID

在 SQUID（的原型）中，电子干涉的上下两条路径被固定在了一个超导环中，电子的波函数沿超导环绕一圈，刚好对应了双缝干涉中电子两臂构成的闭合环路。为了让电子波函数能产生相位差，我们还需要在超导环的某处挖出一个缺口（右图的绿色部分）。如果把这个缺口连上，量子力学的基本原理会强制令两端的相位相等，相位差和干涉也就无从谈起了。

有的读者可能会好奇，如果不留缺口、两端的相位会被强制相等；但如果在环中通入磁场，又会产生相位差。这两个结论看似矛盾，究竟是怎么回事呢？

事实上，如果把缺口连上、考虑一个完整的超导环，那么波函数连续条件会强制将环内的磁通钳制在某些特定的值上。环内的磁通量只能取磁通量子 $\Phi_0=\frac{h}{2e}$ 的整数倍，这种情况下波函数的相位刚好处于连续状态。这一现象被称为「磁通量子化」。

换句话说，波函数的连续性干过了磁场，电子的波函数会把磁场（准确来说是磁通）强行钳制在某些合适的值上。

如果把波函数的相位比作河流中的水位，这就好像运河中两处高低不同的水面被闸门隔断。如果把闸门打开，水就会一泻千里，直至两边的水面持平；如果想维持水位留作他用，就必须造一道闸门隔断两端的水面。

把干涉路径固定到超导环上之后，我们面临着一个新的问题：怎么观测相位差？在干涉实验中，我们有干涉条纹可以观测，但在超导环中并没有“干涉条纹”这样的东西。

在 1962 年，Josephson 预言了一种超导材料的隧穿效应：如果在两块超导材料之间夹一块足够薄的非超导材料（其实空气也算”非超导材料“），那么超导体中的电子就会在两极之间发生隧穿，隧穿产生的电流与两端的相位差有关：

$$I=I_c\sin\Delta\phi$$

这里，$I_c$ 表示超导体的临界电流，是一个不随时空变化的常量。话句话说，如果薄层两侧的波函数没有相差，那就和两端的超导材料碰在一起的情况是相同的、什么事都不会发生；但如果在薄层的阻隔下两侧的波函数有相位差，就会产生电流，来试图平抑掉结两端的相差。整个约瑟夫森结总是倾向于回到最自然的状态，也即，波函数的相位连续、两端没有相差的状态。

这种效应被称为约瑟夫森效应，约瑟夫森也因为预言了该效应而获得了 1973 年的诺贝尔物理学奖。这种超导体-非超导体薄层-超导体的三明治一样的结构则被称为约瑟夫森结（Josephson juntcion），日后在超导量子计算机中发挥了重要的作用。

实际的 SQUID 设计。右下是约瑟夫森结和隧穿电流的示意图。

回到 SQUID。不难发现，约瑟夫森效应为 SQUID 提供了一种简单有效的观测相位差的方式：直接测电流就行了！

测量一个闭合回路中的电流未免有些麻烦；实际上的 SQUID 设计比我们刚刚提到的原型要更复杂一些：在超导环的两端连接有额外的电极，在两个电极之间有持续不断的电流通过；而且超导环上的约瑟夫森结也从一个变成了两个。借由两端电极之间的电流和电压，SQUID 便能将磁通转化为波函数的相差，再将相差转化为电流和电压的变化，从而以接近量子极限的极高灵敏度探测周遭的磁场。

用 SQUID 探测磁场的等效电路图。其中“X”表示约瑟夫森结。图来自 wikipedia[wiki]

当 SQUID 中没有磁场穿过时，约瑟夫森结两端没有相差，外加的电流均等地穿过 SQUID 两桥上的两个约瑟夫森结，就好像什么都没发生一样。如果假设外加的电流是 $2I_0$，那么两个约瑟夫森结上的电流就分别是 $I_0$。而当磁场穿过 SQUID 中央的时候，磁场干扰电子波函数，波函数产生相差，最终相差积累在约瑟夫森结两端。还记得吗？整个约瑟夫森结总是倾向于回到最自然的状态，也即，波函数的相位连续的状态。我们先考虑两种特殊情况：

1. 如果穿过 SQUID 的磁通足够小，那么就会产生反向的（感应）电流来抵消磁通，这和经典中的楞次定律是一致的；
2. 如果穿过 SQUID 的磁通刚好是磁通量子 $\Phi_0$ 的整数倍，那么就对应了相位差是 $2\pi$ 的整数倍，这就等于没有相位差，不会有电流；
   看明白了吗？相位差是一个周期性的东西，约瑟夫森结只需要让两端的相差来到 $2\pi$ 的整数倍，就能让两端的相位差连续，回到它最喜欢的状态。

明白了这一点，我们便可以考虑更一般的情况了：

1. 如果穿过 SQUID 的磁通小于半个磁通量子，即 $\Phi<\Phi_0/2$，那么约瑟夫森结更倾向于让磁通回到 $0$，即产生反向的感应电流
2. 如果穿过 SQUID 的磁通小于半个磁通量子，即 $\Phi_0/2<\Phi<3\Phi_0/2$，那么约瑟夫森结更倾向于让磁通来到$\Phi_0$——此时对应约瑟夫森结上的相差刚好为 $2\pi$——即产生正向的感应电流——这和经典中的电磁感应定律是相反的。
3. 加以推广，如果穿过 SQUID 的磁通满足 $n\Phi_0<\Phi<(n+1/2)\Phi_0$，那么会产生反向的感应电流、驱使磁通回到 $n\Phi_0$；如果穿过 SQUID 的磁通满足 $(n+1/2)\Phi_0<\Phi<(n+1)\Phi_0$，那么会产生正向的感应电流、驱使磁通来到 $(n+1)\Phi_0$。
   这里我们还差最后一点魔法：两边都是超导电流，怎么探测电流的变化呢？解决方案也很简单：加大电流，让一部分电流变成非超导电流，这样就会在 SQUID 两端产生可探测的电压。当相位变化时，约瑟夫森结上能通过的超导电流也会相应地发生变化（即前面的“感应电流”）。当电流足够大时，就可能会超出超导材料的临界电流，产生一部分受电阻影响的普通电流 $I_{ns}$。最后，根据大家熟悉的 $V=I_{ns}R$，SQUID 两端的电压也随之发生变化，从而产生可以由电压计测量到的电压变化。不难发现，电压随磁通的变化是周期性的。这样，我们就完成了对磁通的超敏感测量。

磁通变化时 SQUID 两端电压的变化。图来自 wikipedia[wiki]

由于对磁场非常敏感，SQUID 最大的应用便是用来测量磁场。更有意思的是，什么地方会需要测量那么微弱的磁场呢？有一条令人意想不到的答案：生物。生物体内没有特别强烈的电磁活动，因此各种生物活动只能引发极微弱的磁场；但这些磁场在医学、生物学中又有着重要的应用。因此，SQUID 在测量生物磁场中得到了大量应用。早在 1970 年，便有科学家用 SQUID 测量了心脏在跳动时产生的磁场[6]。在神经科学中，SQUID 更是大显身手，成为了测量脑磁的尖端技术。

使用 SQUID 的脑磁图（MEG）设备。图片来自[5].

准商用的 SQUID。图片来自 wiki[wiki]

除了在测量磁场方面的有应用外，SQUID 还在量子计算中找到了自己的一席之地。在上世纪末，科学家们发现一小块孤立的超导金属可以处在“里面有 $n$ 个电子对”和“里面有 $n+1$ 个电子对”的叠加态上，于是便可以用来设计量子比特。但是这样的量子比特太死板，不容易调节和控制，于是科学家们将 SQUID 和它结合起来，这样一来便可以调节穿过 SQUID 的磁通来调节量子比特的性质，从而进行量子计算。

在下图中，上面的横杆是“孤立的超导金属”，下面的大块块是电子源（和环境连通的一块很大的超导金属），二者之间的两条竖杠便是两个约瑟夫森结。约瑟夫森结、电荷孤岛、电子源构成了一个空间上的闭合环路，从而构成了 SQUID。调节磁通 $\Phi$，便可以调节超导量子比特的性质。

电荷量子比特的显微照片。上面的横杆是“孤立的超导金属”，下面的大块块是电子源（和环境连通的一块很大的超导金属），二者之间的两条竖杠便是两个约瑟夫森结。约瑟夫森结、电荷孤岛、电子源构成了一个空间上的闭合环路，从而构成了 SQUID。通过调节中间穿过的磁通 $\Phi$，便可以调节超导量子比特的性质，从而帮助进行量子计算。

参考文献

[1, 主要参考 1] Quantum Information & Quantum Optics with Superconducting Circuits, by Juan Jose Garcia Ripoll, 2022.

[2, 主要参考 2] 《电动力学》（第三版），郭宏硕 著，2008.

[3, wiki] Wikipedia of SQUID, https://en.wikipedia.org/wiki/SQUID.

[4, AB 效应原论文] Significance of electromagnetic potentials in the quantum theory, by Y Aharonov and D Bohm, on Physical Review, in 1959.

[5, SQUID 在生物磁场测量中的应用] SQUIDs in biomagnetism: a roadmap towards improved healthcare， by Rainer Körber and many other authors, on Superconductor Science and Technology, in 2016.

[6] Magnetocardiograms taken inside a shielded room with a superconducting point-contact magnetometer, by David Cohen and Edgar A. Edelsack and James E. Zimmerman, on Applied Physics Letters, in 1970.