李辰剑 2020-12-14

写在前面

自从大一学了傅里叶级数（并且没学好），大二的数理方法又错过了讲傅里叶变换的那节课（数理方法），就一直对傅里叶变换感觉懵懵懂懂，没学进去；虽然道理能搞懂、公式能照搬，但用起来总是感觉心里没底，缺乏信心；再加之傅里叶变换的具体方法和公式种类繁多，更让我摸不着头脑。由于计算物理要讲FFT, 便打算趁这个机会查缺补漏，把傅里叶变换没有搞懂的地方彻底搞懂（指我自己的问题），整理成笔记。

这系列笔记的内容应该包括：

• 从傅里叶级数到傅里叶变换的”推导“（是如何过渡过去的？）

  • 这里便会牵涉到各种不同的傅里叶公式
  • ——这也是这篇笔记的内容.因此，这个系列的第一篇其实是”(二)”出于逻辑完整性，最开始的内容应该是傅里叶方法和傅里叶级数的引入，以及级数敛散性的讨论，因此这篇过渡到傅里叶变换的笔记就是(二)了; 什么？你问我(一)和后面的内容会不会填坑？我估计大概率不会(坏笑
• 关于傅里叶级数敛散性的一些讨论 ->(一)（刘旭峰留下的坑，看了伍胜健的《数学分析II》中的相关内容才明白）
• 卷积的推导 -> (三)
• DFT 和 FFT -> (四)

从三角傅里叶级数到复傅里叶级数

在高数课本中，给出的傅里叶级数公式为：

简单起见，我们假设函数$f(x)$没有瑕点，级数总能收敛

其中系数由积分给出：

这种做法的合理性来自于三角函数系的正交性:

其中，内积$\langle\cdot|\cdot\rangle$是由$[-\pi, \pi]$上的定积分定义的；对正弦函数而言，参数$n$不能为$0$, 而对余弦函数而言，$n$可以为零，但此时的正交关系为$\langle\cos nx|\cos nx\rangle=\langle 1|1\rangle=2\pi$而非$\pi$.

这个结果看上去非常美丽，但仍有一些问题：

• 为什么$n=0$的项要搞特殊？强迫症很痛苦啊！
  • 进一步来说，从数学上，为什么$n=0$的项很特殊呢？(显然我并不满足那个简单的定积分公式)
  • 整个三角函数系看上去还是有点冗余/复杂. 如果能化成单参数的函数族就好了.
• 这个形式要求$f(x)$必须是以$2\pi$为周期的函数，对一般函数不太好处理.
• 这个形式很不容易推广/过渡到傅里叶变换上.

所幸我这两天找到了一个巧妙的方法, 可以解决这些问题.

这是一篇Hello World 文章!

因为有一些文章内容公式太多，不太适合放在微信公众号，于是就花了点时间，不务正业地部署了一个个人博客。既是一种新的分享自己的想法的渠道，也是微信公众号的一种延伸。

近几天应该会把这学期写的一篇关于傅里叶变换的文章和一篇关于放大电路的文章放上来，hope you enjoy reading XD.

另：既然文章名字叫Hello world，还是来喊几声hello world吧:

bash:

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$ printf "Hello world!"

Python:

1

>>>print("Hello world!")

C++:

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#include<iostream>
using namespace std;

int main(){
	cout<<"Hello world!"<<endl;
	return 0;
}