Fourier方法专栏(二)-从傅里叶级数到傅里叶变换

李辰剑 2020-12-14

写在前面

自从大一学了傅里叶级数(并且没学好),大二的数理方法又错过了讲傅里叶变换的那节课(数理方法),就一直对傅里叶变换感觉懵懵懂懂,没学进去;虽然道理能搞懂、公式能照搬,但用起来总是感觉心里没底,缺乏信心;再加之傅里叶变换的具体方法和公式种类繁多,更让我摸不着头脑。由于计算物理要讲FFT, 便打算趁这个机会查缺补漏,把傅里叶变换没有搞懂的地方彻底搞懂(指我自己的问题),整理成笔记。

这系列笔记的内容应该包括:

  • 从傅里叶级数到傅里叶变换的”推导“(是如何过渡过去的?)

    • 这里便会牵涉到各种不同的傅里叶公式
    • ——这也是这篇笔记的内容.因此,这个系列的第一篇其实是”(二)”出于逻辑完整性,最开始的内容应该是傅里叶方法和傅里叶级数的引入,以及级数敛散性的讨论,因此这篇过渡到傅里叶变换的笔记就是(二)了; 什么?你问我(一)和后面的内容会不会填坑?我估计大概率不会(坏笑
  • 关于傅里叶级数敛散性的一些讨论 ->(一)(刘旭峰留下的坑,看了伍胜健的《数学分析II》中的相关内容才明白)
  • 卷积的推导 -> (三)
  • DFT 和 FFT -> (四)

从三角傅里叶级数到复傅里叶级数

在高数课本中,给出的傅里叶级数公式为:

简单起见,我们假设函数$f(x)$没有瑕点,级数总能收敛

其中系数由积分给出:

这种做法的合理性来自于三角函数系的正交性:

其中,内积$\langle\cdot|\cdot\rangle$是由$[-\pi, \pi]$上的定积分定义的;对正弦函数而言,参数$n$不能为$0$, 而对余弦函数而言,$n$可以为零,但此时的正交关系为$\langle\cos nx|\cos nx\rangle=\langle 1|1\rangle=2\pi$而非$\pi$.

这个结果看上去非常美丽,但仍有一些问题

  • 为什么$n=0$的项要搞特殊?强迫症很痛苦啊!
    • 进一步来说,从数学上,为什么$n=0$的项很特殊呢?(显然我并不满足那个简单的定积分公式)
    • 整个三角函数系看上去还是有点冗余/复杂. 如果能化成单参数的函数族就好了.
  • 这个形式要求$f(x)$必须是以$2\pi$为周期的函数,对一般函数不太好处理.
  • 这个形式很不容易推广/过渡到傅里叶变换上.

所幸我这两天找到了一个巧妙的方法, 可以解决这些问题.

在$\eqref{Fourier_series}$中,我们首先把把正弦项扔掉(或者说假定函数是偶函数),只看余弦项:

再把在正半轴上求和的余弦项分一半出来翻到负半轴上求和:

瞬间就统一了!整个式子变得更扁平化了, 那个原本搞特殊的$a_0$,现在也服服帖帖地收到求和号里去了.

但是问题还没有结束. . . 这个trick对正弦项来说并不能推广. 事实上——上式更好的用法是当作一个不严谨的insight, 作为一个入口. 我们一会儿会回来再看一个式子.


更好的做法是, 先向复数推广, 我们考虑下列复傅里叶级数:

函数系$(e^{inx})_{n=-\infty}^{+\infty}$的正交性比三角函数系更有意思, 也更令强迫症满意:

等等, 这怎么好像和我们以前看到的不一样?当$m\neq n$时上式并不一定为$0$,并没有得到我们期望的正交性.

啊, 让第二个指数项的指数加个负号就对了. . . 这不就是共轭内积的定义吗!大师我悟了!内积为什么要定义成共轭内积的样子?——不这样做, 就无法得出指数函数系$(e^{inx})_{n=-\infty}^{+\infty}$的正交性了.

改变后的式子为:

当然, 看到分母上的$m-n$后, 我立马反应过来, 这应该是$m\neq n$时的情况… 对于$m=n$的情况, 应该是:

于是统合起来就得到我们想要的函数系正交关系:

值得注意的是:

  • 这里的$mn$是任意整数, 不需要是正数;这比三角函数系更为推广.
  • 这里的模长是$2\pi$而不是三角函数的$\pi$, 这是很关键的
    • 事实上, 这是由于$e^{inx}e^{-imx}=(\cos nx+i\sin nx)(\cos mx-i\sin mx)=\cos nx\cos mx+\sin nx\sin mx$造成的(里面有三角函数的内积);”共轭”这一关键因素保证了另两项是相消的.

于是我们可以写出复数形式的、函数傅里叶级数展开:

其中

一般来说, $e_n$可以是复数.


为了加深对复数形式和三角形式的级数之间的关系的理解, 我们再做一讨论. 还记得前面那个被展开的三角形式傅里叶级数吗?我们换一种形式向负数展开:

于是, 我们得到了傅里叶级数展开的两种系数关系. 在傅里叶级数的实形式$\eqref{Fourier_series}$和复形式$\eqref{Fourier_series_complex_form}$之间,我们有三套系数:$\{a_0, (a_n)_{n=1}^{+\infty}, (b_n)_{n=1}^{+\infty}\}, $ $\{(c_n)_{n=-\infty}^{+\infty}, (s_n)_{n=-\infty}^{+\infty}\}$和$(e_n)_{n=-\infty}^{+\infty}$. 由于傅里叶级数展开唯一,我们可以比较系数,从而给出它们之间的关系

由右边可以得到$s_n=ic_n$, 带入左边的下面一式, 就可以得到$c_n$的方程组:

由这一式, 我们就可以由三角形式的傅里叶级数解出复指数形式的傅里叶级数(的系数), 从而建立起了二者之间的联系. _这里是对前面的那个坑的交代_

作为特例, 当函数为偶函数时, 正弦项$b_n$全为零, 有$c_n=c_{-n}$, 于是就可以得到之前所说的$c_n=\frac{a_n}{2}$的形式, 通过将正数那边的级数翻转一半到负数上, 并使得形式统一(没错, 指的就是$a_0/2$你这个兔崽子). 这时的$s_n=ic_n=ia_n/2$, 正数和负数上的部分相互抵消.

可以看到, 从实到复、指标从正数(或者说自然数)推广到整数的过程是并不trivial的. 两种形式下的系数关系略显复杂(由线性方程组$\eqref{LEQG_between_coef}$确定), 在偶函数这个特例里有一个比较简单的形式.

很巧地,指标从正数推广到整数(后面就会看到, 这是推广到傅里叶变换的不可或缺的一步)随着从实到复的推广自动完成了. 这是我始料未及的. 这在一定程度上源自于指数函数系$(e^{inx})_{n=-\infty}^\infty$在整数域$\mathbb{Z}$(而不仅仅是正数域$\mathbb{Z^+}$)上的正交性.

另一方面, 总体来说, 复指数形式的一切都比较简单, 更具有数学美和简洁性. 这表面上源自于指数含数系更好(更统一、更扁平)的正交性, 根本上则来源于 一个复数天然地包括了两个实数, 从而能携带比单个实数更多的信息 这一性质. 指数函数通过欧拉公式统括了正弦和余弦两个函数, 并使得最终的公式更为简洁.


从复傅里叶级数到傅里叶变换

从三角形式到复指数形式, 我们已经向前迈进了一大步;但能处理的函数仍然仅限于周期为$2\pi$的函数.

事实上, 对于具有任意周期$2T$的函数, 我们只要进行变换$\hat{x}=\frac \pi T x\leftrightarrow x=\frac{T}{\pi}\hat{x}$ , 就可以很方便的构造出以$\hat{x}$为自变量、以$2\pi$为周期的函数:$g(\hat{x})=f(\frac{T}{\pi}\hat{x})=f(x)$. 相应地, 复指数傅里叶级数及其系数的生成公式为:

变换回$f(x)$的结果是:

若令$k=\frac{n\pi}{T}$, 我们可以得到另一种等价的形式.

到这里, 我们完成了从定长周期到一般周期的推广.

从针对周期函数的傅里叶级数到针对任意函数的傅里叶变换, 一个常用的想法是设想$T\to\infty$;所幸在我们的充分的前期铺垫下, 这一步会是很容易完成的.

令$T\to\infty$, 则周期函数$f(x)$就愈发接近任意函数;随着$T$作为分母愈发增大, $\frac{n\pi}{T}$就愈发稠密、愈发接近一个连续的谱. 将前述和式过渡到连续的积分形式, 就有:

式中$F(n)\in\mathbb{C}$是$e_n$连续化的结果;其自变量$n$与$e_n$的下标是一致的, 函数的意义是在”$n$空间”中的”模式密度”.

实际情况中, 我们常常再进行一次变换, 将变量$n$替换为$k$, 以图令变量更为简洁:

这对$F(k), F(n)$间提出了约束关系(注意, 这说明了为什么二者会差一个系数):$F(n)\mathrm{d}n=F(k)\mathrm{d}k$

考虑到$k=\frac{\pi}{T}x\Leftrightarrow \mathrm{d}k=\frac{\pi}{T}\mathrm{d}n$, 带入上式我们就有$F(k)=F(n)\frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}k}=F(n)\frac T\pi$, 再带回傅里叶展开式就有:

这就是大名鼎鼎的傅里叶变换.

-OHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH!

至此, 我们已经完整地推出了/过渡到了傅里叶变换的公式. 值得注意的几点包括:

  • 这里的波数$k=\frac{n\pi}T$作为数学定义出现, 但仍然是与物理定义一致的.
  • 随着$T$趋于无穷, 作为波数的$k=\frac{n\pi}{T}$的取值点也愈发稠密;只要考虑$F(k)$是连续函数, 我们总可以在那些无理点和没有取值的有理点补充定义, 将值补充定义为附近的有取值的$\frac{n\pi}{T}$点, 获得一个完整的连续函数. 这样一来, 说明$F(k)$”定义是合理的”.
  • 通过这样推导得出的傅里叶变换, 我们自然而然地解决了正向变换中那个奇怪的负号问题($e^{-ikx}$)——它来自于复函数空间上的酉内积.
  • 此外, 经有这一推导, 我们还自然地得出了傅里叶逆变换的公式. 它与正向变换的公式差了一个负号. (表面看上去是这样. )

傅里叶变换有许多形式和许多种定义, 这里为了完整性列举如下:

  • 一些书中为了对称性(说的就是你, 《数学物理方法》), 会采用另一种写法, 将正逆傅里叶变换中前面的系数统一写为$1/\sqrt{2\pi}$:

摘自吴崇试《数学物理方法》

  • 量子力学中, 由于宗量不同,傅里叶变换会有稍稍不同的形式:
  • 定义在$n$空间上的傅里叶变换,好处是可以去掉前面的$2\pi$系数. 一般形式为:
  • 傅里叶分解可以推广到二维和三维.规律是宗量化为矢量、积分区域化为$\mathbb{R^2},\mathbb{R^3}$,前面的系数相应地乘以维数.例如,对于二维傅里叶变换,前述$n$空间形式化为:

注意上式中我已经修改了一些变量的名字.这在图像处理中有很重要的应用.

又如, 对于量子力学中三维傅里叶变换的形式为:


总结

总结一下. 以上3000字, 我们完成了这么几件事:**

  • 将三角形式傅里叶级数拓展为复指数形式傅里叶级数

    • 从实到复的拓展$\mathbb{R}\to\mathbb{C}$
    • 求和指标从自然数向整数的拓展$n\in\mathbb{N}\to n\in\mathbb{Z}$
  • 将固定周期函数的傅里叶级数拓展为任意周期函数的傅里叶级数

    • $(-\pi, \pi)\to(-T, T)$
  • 将离散的傅里叶级数拓展为连续的傅里叶变换(及其逆变换)

    • 从属于离散整数集的求和指标, 拓展为属于连续的实数集的积分变量:$n\in \mathbb{Z}\to k\in \mathbb{R}$
    • 通过极限过程$T\to+\infty$完成
    • 因而, 这一步拓展中包含了许多不严谨的部分;为$f, F$预设了许多美好的前提. 详细严谨的分析还是请参考数学分析.
  • 傅里叶变换应用、形式繁多; 因此在最后列举了几种常用的傅里叶变换形式以供查阅.

李辰剑 2021-4-3修改

作者

IcyChlorine

发布于

2021-04-03

更新于

2021-04-04

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